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級数の収束と極限値に関する問題
- 級数について、極限とも収束値に関する問題を解く。
- 数列の和の極限を求める問題と、数列の収束を示す問題を解く。
- 数列の極限や収束の定義を理解し、問題を解く。
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(1)はどんな本にも書いてあります。 (2)anは収束列なので有界で、|an|<K |bn|<K(1^2+2^2+・・・+n^2)/n^a=Kn(n+1)(2n+1)/6n^a よってaが3より大きければbnは０に収束する。 A≠0なので、ある番号以上は|an|>ε>0 |bn|>εn(n+1)(2n+1)/6n^a よってaが3より小さければbnは発散する。 a=3のときはどうか？ おそらく、nが大きくなると大体、 分子がA(1^2+2^2+・・・+n^2)=An(n+1)(2n+1)/6 で、分母がn^3なので、bnは2A/6=A/3に収束すると思われる。 ある番号N以上ではA-ε<an<A+εとすると、 N^2aN+・・・+n^2an>(A-ε)(N^2+・・・+n^2) =(A-ε){n(n+1)(2n+1)/6-(N-1)N(2N-1)/6} N^2aN+・・・+n^2an<(A+ε)(N^2+・・・+n^2) =(A+ε){n(n+1)(2n+1)/6-(N-1)N(2N-1)/6} n^3で割ると、 (N^2aN+・・・+n^2an)/n^3 >(A-ε){(1+1/n)(2+1/n)/6-(N-1)N(2N-1)/6n^3} (N^2aN+・・・+n^2an)/n^3 <(A+ε){(1+1/n)(2+1/n)/6-(N-1)N(2N-1)/6n^3} n→∞にすると、 (A-ε)/3<(N^2aN+・・・+n^2an)/n^3<(A+ε)/3 N未満の部分は極限が０なので、bnはA/3に収束する。 正確な証明の記述ではないですが、正確に書くには、(1)と同様の ε-N論法のように書けば良いと思います。 あるいは、ダイレクトにbn-A/3をうまく変形してできるか・・・ 計算は即席でやったので、あくまでも結果はご自分でお確かめを・・・
お礼
すばやい回答ありがとうございます。大変参考になりました 計算はこれからやってみます