恒等式の質問

質問

こんにちは。数学が分かる方どなたか教えてください！！
問題の解き方は分かるのですがどうしてそのとき方でいいのかが分かりません。
問題：直線(4k-3)y=(3k-1)x-1は、実数kの値にかかわらず、定点Aを通ることを示し、この点Aの座標を求めよ。
というのです。
これはkで式をくくり、3x-4y=0,x-3y+1=0を解けばいいわけですが、なぜなのでしょう??
kでくくった式を「＝0」とするのは「kがどの値でも０になる」ということで納得はできるんですが、どうして全く関係のなさそうな式x-3y+1まで「＝0」とならなくてはならないのでしょうか。

頓珍漢な質問をしてたらすいません。でも心優しい方どうぞ教えてくださいｗ

回答No.2

Uprising · ベストアンサー

例えば、直線 x＋2y－1＝0　が通る点を探すときのことを考えます。
この直線が通る点には、(3, －1)などがありますが、なぜ「通る」と言えるのでしょうか。
それは x＝3, y＝－1 が、x＋2y－1＝0　を成り立たせるからです。

直線 k(3x－4y)－(x－3y＋1)＝0　が通る点を探すときも同じです。
この式を成り立たせるx,yを探します。
つまり、この式の左辺を0にするx,yを探します。
「kがどんな値をとっても」左辺を0にしないといけないので、kの影響を消すために、まず
　3x－4y＝0
とします。するとこの直線の式は
　k×0－(x－3y＋1)＝0
となり、左辺を0にするために
　x－3y＋1＝0
とします。

ほかの例では、
　kがどんな値をとっても s＋kt＝0 となるためには、s＝t＝0
などがあります。

お礼

あ、わかりました！ありがとうございました。

回答No.4

Uprising

さらに別解です。

直線 (3k－1)x＋(3－4k)y＝1 上の点をX(x, y)とし、ベクトル　a↑＝(3k－1, 3－4k)　とすると、
この直線の式は
　a↑・OX↑＝1
とできるので、
　OH↑＝a↑/|a↑|^2　
となる点Ｈを考えると、Hはこの直線上にあり、
　a↑・HX↑＝a↑・OX↑－a↑・OH↑＝0
なので、この直線は、
　点Hを通り、a↑に垂直な直線
ということができる。

さて、a↑＝(－1, 3)＋k(3, －4)　なので、OA↑＝a↑なる点Aを考えると、Aは直線上を動く。
原点からこの直線に下ろした垂線の足をPとすると、
　P(4/5, 3/5)　で、　P＝1 　(計算略)
よって、OH/OP＝OA/OA^2＝1/OA　より
　∠OHP＝９０°
したがって、Pは題意の直線上にある。
　（答)x＝4/5, y＝3/5

お礼

べべべべべくとるぅ？

すいませんｗベクトルはまだやってないのでわからないんです。でもなんだかきっと大変だったかと思います。ん？日本語がおかしい。

ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

恒等式の解き方はひとつしかないわけではない。

k*（4y-3x）＋（x+1-3y）＝0　‥‥(1)が全てのkに対して成立するから、例えば　k＝1でも-1でも成立する。
つまり、この時は　y-2x+1＝0、-7y+4x+1＝0となる。
これを連立して解くと、（x、y）＝（4/5、3/5）である。‥‥(2)
しかし、これは高々二つのkの値に対して成立したに過ぎないから、全てのkの実数値に対して成立する事を示さなければならない。
そこで、(2)を(1)に代入すると、kの実数値に関わらず、常に(1)の右辺は0となり成立する。
従って、求める定点Ａは、（x、y）＝（4/5、3/5）である。

必要条件として求めた値が、十分条件でもある事を示した解法。

回答No.1

koko_u_

>kでくくった式を「＝0」とするのは「kがどの値でも０になる」ということで納得はできるんですが

本当に納得していますか？
なぜ 式 x-3y+1 が「全く関係ない」と考えたのですか？
求めた定点を元の直線の式に代入してみたりしましたか？