数II 軌跡（基礎）の質問です。

質問

いつもお世話になりありがとうございます。周りに質問できる人がおらず、皆様のお力添えをお願い致します。

数II軌跡（・領域）の問題です。

「kを定数とする。直線 (2k+1)x + (k+4)y -k+3=0 は、kの値に関係なく定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。」です。

問題の式をkについてまとめるまでしか理解できていません。
答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。

お手数をおかけして申し訳ありません。
宜しくお願い致します。

回答No.1

Dr-Field · ベストアンサー

直線の式を変形する。
(2k+1)x + (k+4)y -k+3=0
2xk+x+yk+4y-k+3=0
(2x+y-1)k+(x+4y+3)=0・・・(1)

(1)の式がkの値に関わらず成立するためには、2x+y-1=0かつx+4y+3=0でないといけない。これを満たすのは(x、y)＝(1,-1)であるから、求める定点の座標は(x、y)＝(1,-1)である。

※kがある特定の値ではなく、kの値に関わらず常に(1)を成立させるような条件、すなわち、この場合だと 2x+y-1=0 かつ x+4y+3=0 がミソ。

お礼

お礼が遅くなってしまい、大変申し訳ありません。
やっと理解することができました。本当にありがとうございました。

回答No.2

noname2727

変形して、
（2x+y-1)k+(x+4y+3)=0・・・（※）
までわかるのですね。
（※）がkの値にかかわらず定点をとるので、適当にkの値を代入してみればよいのです。
例えば、k＝0として
x+４y+３＝0
が成立します。
k＝1として
3x+5y+２＝0
が成立します。
この２つを連立すると、（x、y）＝（1、-１）
つまり、定点を通るとしたら、この点（1、ー1）以外に考えられませんね？
あとは、それがkの値に関係なく成立することを言えば良いので、（※）に代入して、
0＝0となって矛盾なく成立します。
よって（1、-1）がkの値に関係ない定点であることがわかりました。

お礼

お礼が遅くなってしまい、大変申し訳ありません。
ご回答ありがとうございました。