微分

質問

微分の問題を教えてください。

f(x)=x^3+(a-1)x^2-a+2<aは実数>とするとき、次の問いに答えよ。

(1)y=f(x)のグラフはaの値によらず2定点を通ることを示せ。

(2)y=f(x)の極大値を与えるxの座標mを求めよ。

(3)aが実数全体を動くとき、(m,f(m))の軌跡をxy平面上に図示せよ。

(1)は(1,2)(-1,0)と答えが出たんですけど、(2)は微分して増減表を書こうとしたら大小関係が分からず答えが2つになってしまいます。(3)は図示は無理なので式あたりまで教えてください。

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

#1,2のものです。
#2以降はぜんぜん計算していません。あなたの計算結果を信用して説明します。

>(II)がy=-a+2となってaが消去出来ないんですけどどうすれば良いですか？
(II)の場合、x座標は"0"で固定です。(m=0)
ですから、求める軌跡はy軸上を上下することになります。
y=-a+2　であり、a<1　からyの変域は求めることができます。

>あと図示するときに(I)ならa>1からx<0といった範囲はつきますか？
もちろんこの範囲が必要になります。
あと、図示する際には(I)と(II)の境界がどのようになるかを明記する必要があります。

お礼

なんとか解けました！
わざわざ丁寧にありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

極大値を与えるmの値が求まったとしても、f(m)を正直に計算するのは余り賢明ではない。

x^3+(a-1)x^2-a+2を　3x＾2＋2（a-1）x　で割って
x^3+(a-1)x^2-a+2＝{3x＾2＋2（a-1）x}{x/3+（a-1）/9}-2*（a-1）＾2*x/9＋（-a+2）＝-2*（a-1）＾2*x/9＋（-a+2）を使えば、計算が簡単になる。

このように、次数を下げて、計算を簡単にする方法は覚えて置いた方が良い。

但し、計算に自信なし。チェックしてね。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。
(I)a>1のとき
　　　m=-2/3(a-1)

(II)1>aのとき
　　　m=0

(III)a=1のとき
　　　極値なし

上記のものであっていると思います。

(3)は、mに上の式を入れて(m,f(m))の座標をaで表します。
上の(II)の場合はさほど難しくは無いでしょう。
(I)の場合はx=-2(a-1)/3からaをxで表し、f(m)の式に代入するとよい。

補足

計算してみたら
(Ⅰ)はy=-1/2x^3+3/2x+1
となって3次関数のグラフが
書けるんですが、
(Ⅱ)がy=-a+2となってaが消去出来ないんですけどどうすれば良いですか？

あと図示するときに(Ⅰ)ならa>1からx<0といった範囲はつきますか？

回答No.1

rnakamra

>(2)は微分して増減表を書こうとしたら大小関係が分からず答えが2つになってしまいます。

f'(x)=0の解はx=0,-(2a-2)/3となりますが、この二つの位置関係によって場合わけをしないといけません。
場合分けは3通り、
-(2a-2)/3<0,-(2a-2)/3=0,-(2a-2)/3>0
でそれぞれ考えてください。

(3)は(2)が解けてからの問題になりますのでまずは補足に(2)の続きをどうぞ。

補足

(Ⅰ)a>1のとき
　　　m=-2/3(a-1)

(Ⅱ)1>aのとき
　　　m=0

(Ⅲ)a=1のとき
　　　極値なし

となりました。
答えはこの2つで合ってますか？