点とちょくせんの距離の公式

質問

大学卒業してますが、どういうわけか数学を勉強してます。ご教授ください。

１）　　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ
　　ｈ＝－－－－－－－－
　　　　　√ａ＾２＋ｂ＾２

という公式ご存知でしょうか？

とある点Ｐ（ｘ、ｙ）と、とある直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃとの距離を求める公式です。ぼくの参考書にはこれを覚えようとしか書いていず、面白くありません。
さるでもわかるようにこの公式を教えてくれるかた、よろしくお願いします。
（ただ、表とか描けないから大変かな？）

あと、もし公式の成立（帰納）をわかりやすく書かれている参考書をご存知でいらしたら教えてください。

２）定点について教えてください。

ある参考書の解説を読んでいました。
解説）直線２ｘ＋ｋｙ＋１＝０という式があったとします。ｋにいろんな値を代入することでさまざまな直線になりますよね。
さまざまな直線になりますけど、この直線はどれもあるひとつの点をとおります。この点を定点という。

と参考書に書いてあります。

そして問題文を見てわからないことがありました。

＊＊＊＊＋問題＊＊＊＊＊＊
定点ａ（１、１）と直線ｌ；ｋｘ＋（ｋ＋１）ｙ－２＝０がある。
（１）ｋのあたいにかかわらず、直線ｌのとおる定点ｂの座標をもとめよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝＝

これを読んで、なんで定点が二つもでるの（ａとｂ）？と思いました。
こんなことを知らなくても問題は解けるのですが、本当にわかった気がしなくて・・・。なんで定点がａとｂがあるのかふしぎです。さきの解説を前提にするとひとつの直線に定点はひとつのはず。定点とはなんでしょうか？お願いします。

回答No.5

Mell-Lily · ベストアンサー

（１）
直線lの方程式を、
　ax+by+c=0　・・・　[1]
定点Pの座標を、
　(x_1,y_1)
とする。
直線lと直交し、定点Pを通る直線mの方程式は、
　b(x-x_1)-a(y-y_1)=0
　bx-ay-bx_1+ay_1=0　・・・　[2]
である。
[1]×bより、
　abx+b^2y+bc=0　・・・　[1]'
[2]×aより、
　abx-a^2y-abx_1+a^2y_1=0　・・・　[2]'
ここで、[1]'-[2]'から、
　(a^2+b^2)y=abx_1-a^2y_1+bc
　y=(abx_1-a^2y_1+bc)/(a^2+b^2)　・・・　[3]
また、[3]より、
　x=(-by-c)/a
これに、・を代入して、
　x=(-b^2x_1+aby_1+ac)/(a^2+b^2)　・・・　[4]
直線lと定点pの距離をdとすれば、
　d=√{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}
であるから、これに、[3]と[4]を代入して、
　d=√[{(a^2x_1+aby_1+ac)^2+(abx_1+b^2y_1+bc)^2}/(a^2+b^2)^2]
　 =|ax_1+by_1+c|/√(a^2+b^2)

（２）
この解説が、少々誤解を招く書き方になっているようです。定点とは、読んで字の如く、定まった点のことです。必ずしも、任意のkに対する直線が共通に通る点というわけではありません。ですから、定点は、いくつ出てきても問題はありません。
実際、kx+(k+1)y-2=0が、任意のkに対して共通に通る点は、(-2,2)であって、(1,1)ではありません。

お礼

回答ありがとうございます。
１）の回答はまだ理解できていません。考えてみます。

２）はすっきりしました。でも、任意のkに対する直線が一つ疑問が共通に通る点はなんというのでしょう？やっぱり定点なのでしょうね。

またよろしくお願いします。

回答No.6

KaitoTVGAMEKOZOU

みなさんの解でもベリーベリーＯＫなんですが、ベクトルでやると滅茶簡単ですよ。この方法も人によってクセがあるがひとつだけやる。

点Ｐ（ｐ、ｑ）から、直線Ｌ：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０におろした垂線の長さを求める。垂線の足を点Ｈ（ｒ，ｓ）とする。

直線Ｌの法線ベクトルＡは　　→ｎ＝（ａ，ｂ）　　
とすると、→ｎ〃→ＰＨ　　（〃は平行という意味）

→ＰＨ・→ｎ＝｜→ＰＨ｜｜→ｎ｜　ｏｒ　－|→ＰＨ||→ｎ|　
∴｜→ＰＨ・→ｎ｜＝｜→ＰＨ｜｜→ｎ｜　
⇔｜→ＰＨ｜＝｜→ＰＨ・→ｎ｜／｜→ｎ｜　　…（☆）

さて、
→ＰＨ・→ｎ
＝（ｐ－ｒ，ｑ－ｓ）・（ａ，ｂ）
＝ａｐ－ａｒ＋ｂｑ－ｂｓ
＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃ　　　　（∵－ａｒ－ｂｓ＝ｃ）

∴｜→ＰＨ・→ｎ｜＝｜ａｐ＋ｂｑ＋ｃ｜

また、｜→ｎ｜＝√ａ＾２＋ｂ＾２ 　なので、☆式は、

｜→ＰＨ｜＝｜→ＰＨ・→ｎ｜／｜→ｎ｜　
　　　　　＝｜ａｐ＋ｂｑ＋ｃ｜／√ａ＾２＋ｂ＾２ 　

以上！

（２）は日本語を勉強すること。ていうか、定点が２個あっちゃいけない理由を１０字以内でお礼にまとめよ。

お礼

＞（２）は日本語を勉強すること

この言い方は相手に失礼ですよ。気をつけようね。

回答No.4

mozniac

まず　1)から
　　　　　　　　　　　　|ax+by+c|
厳密にいうと、公式は　h=---------　（分子に絶対値が必要）です。
　　　　　　　　　　　　√a^2+b^2
（あと、直線はax+by+c=0ですよ。）

点Ｐを通り直線Ｌに垂直な直線ＭがＬと交わる点をＱとしたとき、点Ｐと直線Ｌの最短距離は、線分ＰＱの長さです（図を描いてみるとわかりやすいです）。これらを踏まえて、

ex1.傾きaの直線Ｌに垂直な直線Ｍの傾きはわかりますか？
ex2.点と点の距離を求めることができますか？
ex3.2点を通る直線、傾きと通る1点が与えられている直線、これら両方を求めることができますか？
上記のex123に答えられるのなら、自分の力で公式を導くことができます。
もしわからないものがあれば、数学の専門家では無いScotty_99さんにテキスト形式だけでわかるように説明できる人はいないと思います。

Scotty_99さんが使っている参考書（らしきモノ）は、参考書じゃないですね。受験テクニックだけを載せているだけのものです。本当の参考書は、ちゃんと導き方が書いてあるはずです。なので、チャートでも何でもいいですよ。数学（2）の参考書にはちゃんと書いてあります。

2)です。
「定点」の定義は、まさしく読んで字のごとく、「動かない点」のことです。なので、Scotty_99さんは
>解説）直線２ｘ＋ｋｙ＋１＝０という式があったとします。ｋにいろんな値を代入することでさまざまな直線になりますよね。
>さまざまな直線になりますけど、この直線はどれもあるひとつの点をとおります。この点を定点という。
が定点の定義だと思われているのでは？
確かにこの直線は定点（-1/2,0）を通りますが、定点というのは、任意のkに対して直線が通る点だけではないのです。

だから、kを含んでいる直線はさまざまな直線になるハズなのに、２点を通る直線は一つなのでは？？？って感じていらっしゃるのでは？

「３定点(0,0),(0,1),(-1,0)を頂点とする三角形」って言われて、イメージ沸きません？沸きますよね。

お礼

ありがとうございます。
まさしく受験参考書です。やっぱりチャートはとおらないといけない道なんですね。あれをやらないといけないなんてがっくし。

＞が定点の定義だと思われているのでは？
はい。そう書いてありますよ。

＞「３定点(0,0),(0,1),(-1,0)を頂点とする三角形」って言われて、イメージ沸きません？沸きますよね。

正直、沸きません。でも考えてみます。回答ありがとうございました。

回答No.3

may-may-jp

定点とは、その名の通り、「定まった点」すなわち「ある決まった点」と言う意味です。

お礼

たびたび回答ありがとうございます。そんな簡単に解けるとは知りませんでした。おかげですっきりしました。

回答No.2

may-may-jp

2）について
それは、（1）の問題が定点aとは無関係だからです。おそらく、（2）以降の問題と関係してくる事柄でしょう。

事実、直線lの通る定点bは、直線の式だけで求まります。

回答No.1

may-may-jp

1）について
まずax＋by＋c＝0の式を、y＝～の形に直しましょう。
そして、その直線の図を描きます。適当で構いません。

次に点P（p,q）となる点を適当に取ります。で、その距離を求めれば
（距離）＝（p,qの式）
が出てくるはずです。

最後にp＝x、q＝yと読み替えれば、求める式が出ます。