三角関数の質問

質問

この問題がわかりません。教えてください。

△ＡＢＣにおいて、a=BC　b=CA　c=ABとする。次の等式が成り立つとき、
△ＡＢＣはどうのような三角形であるか。
(１)sin^2A=sin^2B+sin^2C
(２)bcosB=ccosC

お願いします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

(1)
⊿ABCの外接円の半径をRとすると
正弦定理
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
から、
sin(A) = a / (2*R)
sin(B) = b / (2*R)
sin(C) = c / (2*R)
これを与式に代入すると

(a / (2 * R))^2 = (b / (2 * R))^2 + (c / (2 * R))^2

両辺(2 * R)^2 倍すると、

a^2 = b^2 + c^2

これは、三平方の定理である。
よって、⊿ABCはaを斜辺とする直角三角形である。

(2)
余弦定理から

cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2 * a * c)
cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b)

よって
b * (a^2 + c^2 - b^2) / (2 * a * c) = c * (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b)

両辺に 2 * a * b * cを掛けて

b^2 * (a^2 + c^2 - b^2) = c^2 * (a^2 + b^2 - c^2)
変形すると
(b^2 * a^2 + b^2 * c^2 - b^4) - (c^2 * a^2 + b^2 * c^2 - c^4) = 0
(b^2 - c^2) * a^2 - (b^4 - c^4) = 0
(b^2 - c^2) * a^2 - (b^2 - c^2)(b^2 + c^2) = 0
(b^2 - c^2) * (a^2 - (b^2 + c^2)) = 0
(b + c) * ( b - c) * (a^2 - (b^2 + c^2)) = 0
b + c > 0より

( b - c) * (a^2 - (b^2 + c^2)) = 0

よって、

b = cであるような二等辺三角形
aを斜辺とする直角三角形
その2つの条件を同時に満たす三角形を含む。

お礼

本当にありがとうございます。