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連続する番号を引く確率
以下の問題が解けなくて困っています。 誰か教えてください。 「１～16の番号が書かれたカードから 任意の３枚を選んだときに 少なくとも２枚のカードの番号が連続している確率を求めなさい。 ただし、カードは１枚ずつしかなく、 一度引いたカードはもどさないものとします。」
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選ぶ３枚の組を(X,Y,Z)とすると， １≦X＜＜Y＜＜Z≦16 である． ただし，XとYの差が2以上であることを X＜＜Y のように表した． ここで，X'＝X,Y'＝Y-1,Z'＝Z-2 として，新しい組(X',Y',Z')＝(X,Y-1,Z-2)を考えると，これは元の組(X,Y,Z)と１対１に対応し，かつ，１≦X'＜Y'＜Z'≦14 を満たす．（X',Y',Z'の差は１以上．） すると， １～16から異なる３数選んだ組(X,Y,Z)の数字が連続しない場合の数 ＝１～14から異なる３数選んだ組(X',Y',Z')の数字が連続してもよい場合の数 ＝14Ｃ3＝14*13*12／3*2*1＝364(通り) すると，元の選び方の総数 16Ｃ3＝560 より， 求める確率は １－(364／560)＝7/20
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- kony0
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＃１さんと＃３の方法でも十分エレガントだと・・・ 「１～Ｎの番号が書かれたカードから任意の3枚を選んだときに・・・」 と言う問題に対して、 隣り合う2枚の選び方(1,2),(2,3),...,(N-1,N)の(N-1)通り これにもう1枚を選ぶ選び方(N-2)通りをかけて、 ただしこの中には(1,2,3),(2,3,4),...,(N-2,N-1,N)のN-2通りをdouble-countしているのでこれを控除すると、 結局求める選び方は(N-1)(N-2)-(N-2)=(N-2)^2通り よって、求める確率は(N-2)^2/combin(N,3)=6(N-2)/{N(N-1)}
- oshiete_goo
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＃６さんのご回答に沿って， 「1～Nの連続した番号が書かれたN枚のカードから」任意の３枚を選んだときに と一般化した場合，＃４の方針による導出は以下のようになります． 余事象を考えて １～Nから異なる３数選んだ組(X,Y,Z)の数字がどれも連続しない場合の数 ＝１～(N-2)から異なる３数選んだ組(X',Y',Z')の数字が連続してもよい場合の数 ＝(N-2)Ｃ3＝(N-2)*(N-3)*(N-4)／3*2*1(通り) ・・・(1) 一方，全体は NＣ3＝N*(N-1)*(N-2)／3*2*1(通り) ・・・(2) よって一般化された場合の求める確率は １－{(1)／(2)} ＝１－{(N-2)*(N-3)*(N-4)／N*(N-1)*(N-2)} ＝１－{(N-3)*(N-4)／N*(N-1)} ＝{N*(N-1)－(N-3)*(N-4)}／N*(N-1) ＝(6N-12)／N*(N-1) ＝6(N-2)／{N*(N-1)}・・・(答) [補足] この解法では求める組(X,Y,Z)と1対1に対応する（数えやすい）組(X',Y',Z')を考えるのがポイントで，隣り合う数の差が３以上でも，対応はしやすいです．
- good777
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*****■問題■***************************************************** 「１～16の番号が書かれたカードから 任意の３枚を選んだときに 少なくとも２枚のカードの番号が連続している確率を求めなさい。 ただし、カードは１枚ずつしかなく、 一度引いたカードはもどさないものとします。」 ****************************************************************** No.4oshiete_gooさんのすごいおもしろいですね。 で、いちばんおばかの解法をしてみます。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 「3まいでどれも連続しない取り方」を求めます。 （1）3枚のうち、一番大きい数を16として、 ２番大きい数を14としたとき、一番大きい数の取り方は1から12の12通り ２番大きい数を13としたとき、一番大きい数の取り方は1から11の11通り ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ２番大きい数を3としたとき、一番大きい数の取り方は1から1の1通り よって、12×13÷2 （2）3枚のうち、一番大きい数を15として、 ２番大きい数を13としたとき、一番大きい数の取り方は1から11の11通り ２番大きい数を12としたとき、一番大きい数の取り方は1から10の10通り ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ２番大きい数を3としたとき、一番大きい数の取り方は1から1の1通り よって、11×12÷2 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （12） 3枚のうち、一番大きい数を5として、 ２番大きい数を3としたとき、一番大きい数の取り方は1から1の1通り よって、1×2÷2 以上から,3まいでどれも連続しない取り方。 （12×13÷2）+（11×12÷2）+・・・+(1×2÷2) ＝12×13×（24+1）÷12+12×13÷4 ＝13×25+13×3 ＝13×28＝364 全部で16C3＝16×15×14÷6＝560 1-（364/560）＝7/20 ■答え■7/20 --------------------------------------------------------------------- 一般に、 1－（ΣΣk）/（NC3） ただし、シグマのｋは 1から（N-4）まで、となる。
お礼
ありがとうございます。 やはりこの手も問題は 「3まいでどれも連続しない取り方」の確率を求めるのが ベターなのでしょうね。 一番地道な方法なのでしょうか #4さんのような発想ができない限りは これが一番ですね。
補足
>（12×13÷2）+（11×12÷2）+・・・+(1×2÷2) >＝12×13×（24+1）÷12+12×13÷4 の展開が最初わからなかったのですが Σn^2=n*(n+1)*(2n+1)/6 と Σn=n*(n+1)/2 だったんですね。
設問の最初の部分を「1～Nの連続した番号が書かれたN枚のカードから」と読み替えると、下記の計算式で一般化できるようです。(N >= 3) 6 * (N - 2) / (N * (N-1)) この公式に N = 16 を適用すると、#2さんのご指摘どおり、 7 / 20 (35%) となります。
お礼
ありがとうございます。 #7さんの 1－（ΣΣk）/（NC3） （ただしｋ=1～N-4） を展開すると 6 * (N - 2) / (N * (N-1)) になりました。
- oshiete_goo
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#4ですが，補足です． 既にお分かりとは思いますが，最初の説明が抜けていて まず，選ぶ３つの数字がどの２つも連続しない場合を考える． (以下＃４の通り) ＞選ぶ３枚の組を(X,Y,Z)とすると， ＞１≦X＜＜Y＜＜Z≦16 である． ＞ただし，XとYの差が2以上であることを X＜＜Y のように表した． という方針です．失礼しました．
#2 > （１，２）と３ > （２，３）と１ > のように３枚連続になるものを両方で数えてしまいます。 > > これが１４とおりありますから > ２１０－１４＝１９６ とおりとした方がよいと > 思います。 気が付きませんでした。ご指摘感謝。m(_ _)m ところで、もっとエレガントなアルゴリズムはないのでしょうか？ （次の方、どうぞ(^-^;）
お礼
う～んそうですね。 できれば数式で表せるとうれしいですね。 ちなみに任意の３枚（560とおり）は 16Ｃ3 でいいんですよね？
＃１の方の回答だと （１，２）と３ （２，３）と１ のように３枚連続になるものを両方で数えてしまいます。 これが１４とおりありますから ２１０－１４＝１９６ とおりとした方がよいと 思います。 １９６／５６０＝
お礼
なるほど。 ということは １９６／５６０＝０．３５ ということですね。 ありがとうございます。
16種類のカードから任意の3枚を取り出す組み合せは 16 * 15 * 14 = 3360 通り ですが、並び替えるとおなじ組み合せになるものが6種類ありますので、 3360 / 6 = 560 通り となります。 2枚のカードの番号が連続する組み合せは 1, 2 2, 3 ： （略） ： 15,16 の15通りあり、これに残り1枚の取り得る組み合せ（16 - 2 = 14 通り）を 乗ずると 15 * 14 = 210 通り となります。 設問の条件に該当する組み合せ / ずべての組み合せを計算すると、 210/560 → 3/8 となりますので、3/8 (37.5%) が正解だと思われます。
お礼
目から鱗が落ちました。 こんな考え方があるとは思いもよりませんでした。 ありがとうございました。