3で割りきれる確率

質問

この問題はどう解くのでしょうか？教えてください

1から9までの番号がついたカード9枚から同時に3枚を抜き出すとき、3つの番号の和が3で割りきれる確率はいくつか

回答No.1

Igossou-314 · ベストアンサー

3つの数の和が3で割り切れるかどうかを考えるときは、1～9の数それぞれを3で割った時の余りを考えるとよいと思います。
それぞれ3で割った余りは
1　2　3　4　5　6　7　8　9
1　2　0　1　2　0　1　2　0
（下段があまり）
です。
たとえば3と4と7を選んだ場合、

3＋4＋7＝(3×1＋0)＋(3×1＋1)＋(3×2＋1)
　　　 ＝3×4＋2

となっていますから、3＋4＋7を3で割った余りは2で、2＝0＋1＋1ですから3と4と7それぞれを3で割ったもののあまりの和に等しくなっています。
このことを利用すれば、要するに「あまりの和が3の倍数(0含む)」になるような3つ数の組の個数を求めてそれを全体の取り出し方の通り数で割ればよいことになります。
あまりの和をrとおくと

i)r＝0のとき
カードの選び方は(3,6,9)のみ
つまり1通り

ii)r＝3のとき
あまりが0,1,2のカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき
各々3枚ずつだから3×3×3＝27通り

余りが1のカードを3枚取り出す時
選び方は(1,4,7)の1通り

iii)r＝6のとき
カードの選び方は(2,5,8)のみ
つまり1通り

全体の取り出し方は　9Ｃ3＝84通り　(Ｃはコンビネーションです)

ゆえに求める確率は

(1＋28＋1)/84＝5/14　　　□

お礼

ありがとうございます

補足

ii)r＝3のとき
あまりが0,1,2のカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき
各々3枚ずつだから3×3×3

これは3Ｃ1^3ということですか？

回答No.4

bgm38489

これらのカードは、３種類に分かれる。
Ａグループは、３で割り切れる数（３，６，９）。
Ｂグループは、３で割って１余る数（１，４，７）。
Ｃグループは、３で割って２余る数（２，５，８）。
３つの番号の和が３で割り切れるときは、
(1)３枚ともＡグループのカードだった時。
(2)３枚ともＢグループのカードだった時。
(3)３枚ともＣグループのカードだった時。
(4)３枚ともグループが違った時。
に限られる。(1)は当然として、(2)，(3)は余り１，２が３つ足されるから、(4)は余り０，１，２が足されるから、というわけ。
後は、定石通りに確率を求めるだけ。

お礼

よく分かりました ありがとうございます

回答No.3

nag0720

確率の問題は、組み合わせより、順列で考えたほうが簡単になる場合もあります。

1枚目が1のとき、
2枚目が2なら、3枚目は3,6,9の3通り
2枚目が3なら、3枚目は2,5,8の3通り
2枚目が4なら、3枚目は7の1通り
2枚目が5なら、3枚目は3,6,9の3通り
2枚目が6なら、3枚目は2,5,8の3通り
2枚目が7なら、3枚目は4の1通り
2枚目が8なら、3枚目は3,6,9の3通り
2枚目が9なら、3枚目は2,5,8の3通り

計20通り

1枚目が2～9のときも同様なので、確率は、
20×9/(9×8×7)=5/14

お礼

ありがとうございます

補足

組み合わせから順列に転換できるのはどういうときか感覚が分からないので教えてほしいです

回答No.2

opechorse

このぐらいだと
樹形図総当りでも解ける
というかたぶんそういう問題
たとえば、取り出した数字がabc a<b<cとして
a=1のばあい、b+C=nX+2でなきゃならないので
b=2のときcは3,6,9になる
b=3のとき、cは5,8
これの繰り返しのほうが早いよ

お礼

分かりました ありがとうございます