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原始多項式とは?原始多項式の性質と証明方法を解説
- 原始多項式とは、多項式の係数の最大公約元が可逆元であることを指します。
- 原始多項式に関する性質を説明します。
- 原始多項式の性質と証明方法について解説します。
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はい、(2)->(1) (つまり(1)の否定 -> (2)の否定)はそれでいいです。
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- tmppassenger
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うーん.... > (a0/pb0) と書いてありますが、Aは一意分解環であって、体であるとは書いてないので、一般に元 a[0] を元 p*b[0]で「除する」という事が出来るとは限りませんね... そうでなくて、例えば整数(有理整数環)の世界でも、例えば5と8は3を法として等しい、とかいうことを考えた通り、要は「余り」のような事を考える。環の場合はこれは「『イデアル』による剰余環」を考えることに相当する。 つまり、今自然な準同型π: A→A/ pA、つまりπ(a) = a+pA (pAはpによって生成されるイデアル)を考えた時、f(x) = a[0] x^n + a[1] x^(n-1) + .... に対して、f'(x) = (π(a[0]) x^n + (π(a[1]) x^(n+1) + ... ∈ ( A/pA)[x] と定義する、という事を言っている。具体的な例を言うと、Aを有理整数環(これは一意分解環)、pをとある素数(これは有理整数環の素元)としたとき、f(x)は有理整数係数の1変数多項式であるのに対し、f'(x)は f(x)の各項の係数について、全て「pで割った余り」を考える、と言うこと。 で、証明は対偶を考えた方が良い。つまり、f(x)は原始多項式で『ない』とはどういう「定義」かというと、これはf(x)の各項の係数の最大公約数が(0でも)可逆元でもない、ということで、その最大公約数をMとすると、Aは一意分解環なので、Mは素元分解できる。Mは(0でも)可逆元でもないので、Mを割り切る素元pがある。当然、f(x)の各項の係数はこのpで割り切れる。 つまり、 f(x)は原始多項式で『ない』⇒ f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する。 だけど、逆も明らかなので、結局 f(x)は原始多項式で『ない』<=> f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する。 で、後は「 f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する」時、その素元pについて、各項の係数 a[ i ] に対し、先程の準同型πで移したものがどうなるかを考えよ。 逆は、剰余環 A/ pA における零元とはどういうものだったかを考えよ。 一度考えて、分からないところを補足に下さい。
補足
ご回答ありがとうございます! 剰余環を失念してました。最後、「 f(x)の各項の係数を割り切る素元pが存在する」時ですが、 各項の係数 a[ i ] について、b[ i ]∈Aを取れば a[ i ] =pb[ i ]でpb[ i ]∈pAなので π(a[ i ] ) =π(pb[ i ] )=pb[ i ] +pA =pAであり、 f'(x) = (π(a[0]) x^n + (π(a[1]) x^(n-1) + ... +π(a[n]) =pAx^n+pAx^n-1+…+pA=0 (pAはA/ pAの零元 ) よって対偶から(2)⇒(1)が示される という感じで大丈夫ですか?(冗長かと思いますが理解のためお許し下さい💧) 大丈夫でしたら(1)⇒(2)も示せそうです!