問題です。X成分を等速にする円の角速度は？

質問

数学の問題です。

点（0,0）を中心とした半径rの円周を"可変"な角速度ωで点Aが移動するとき、
点AのX方向の速度が一定となるようなωを求めなさい。

当然、Aがx軸上に来たときは、無限大になりますので、完全に一定は不可能と思いますが、
極値は無視して考えるとどうなるでしょうか？

X方向は、X=rcos(ωt）
よって速度は、dx/dt＝一定として、ω＝f（t）にすればいいのでしょうが、
そのやり方がわかりません。。

宜しくお願いします。

回答No.1

sugakusya · ベストアンサー

よくわかりませんが、角速度の定義は、動点Aがｒ(t)∠θ(t)で表されるとき、dθ/dtではないのでしょうか？多分ωを角速度と呼ぶのは、θ=ωtのとき、dθ/dt=ωだからでは？
もし私の言っていることが合っているならば、
　x=rcosθ
　dx/dt=d/dt rcosθ
　　　=rsin(θ) dθ/dt
　　　=v　(vはある一定の速度)
であるから
　rsin(θ) dθ/dt　=　v
を満たすθが解である。よって両辺を時間で積分すると
　r∫sinθ dθ = vt+C
　　　　cosθ = (vt+C)/r
　　　　　　θ=acos( (vt+C)/r )　
ただしacosはアークコサインとする。

確かめ
x=rcosθ=rcos(acos( (vt+C)/r ))=r(vt+C)/r=vt+c
するとdx/dtは確かにvで一定

（ちなみにx(t)にt=0とするとx(0)=C　だからCは初期位置。）

回答No.4

noname#161582

#3です。返答に気付かず、回答が遅くなり申し訳ないです。

＞dθ/dt=ω（各速度）なので、

これはωが時間によらず一定のときにだけ成立します。
ω一定は等速円運動を意味し、問題の解としては不適格です。

ωは時間依存するので

dθ/dt=ω+t*dω/dt

となります。

＞ω=V/[-rSIN(θ+a)]

右辺のθがωを含んでいるので、ωについて解いたことにはなっていません。

お礼

回答ありがとうございました。
私も気づきませんでした。遅れてすいません。

＞これはωが時間によらず一定のときにだけ成立します。
基本的な質問かもしれませんが、、、なぜでしょうか？

回答No.3

noname#161582

簡単のため半径1とします。

x(t)=cos(w(t)t+a) ・・・(イ)

ここで右辺のaは初期位相です。
一方、x(t)は等速なので速度をvとすると

x(t)=vt+x(0) ・・・(ロ)

(イ)(ロ)から

cos(w(t)t+a)=vt+x(0) ・・・(ハ)

これをw(t)について解けば

w(t)=[arccos(vt+x(0))-a]/t ・・・(ニ)

を得ます。

お礼

回答ありがとう御座います。
分かりやすいです。
参考になります。

私なりにも考えてみました。

X=rCOS(θ+a)
ですので、
dx/dt=d/dθ×rCOS(θ+a)×dθ/dt
　　=-rSIN(θ+a)×dθ/dt=V（一定）
となります。
dθ/dt=ω（各速度）なので、
-rSIN(θ+a)×ω=V
よって
ω=V/[-rSIN(θ+a)]

質問に記載した、ω=f(t)ではなく、
ω=f(θ)としても解けますね。
3C273さん、これで合ってますか？

回答No.2

ojisan7

質問がよく分からないですが、与えられている変数はｒ(rは定数だが）とxだから、ωをｒとxで表せばよいということですか？だったら、ω＝f（t）はだめですね。

x=rCosθとおいて、
dx/dt=-rSinθ・dθ/dt=-rSinθ・ω=c
ですから、
ω=-c/(rSinθ)
となるんですが、
θ=ArcCos(x/r)
ですから、
ω=-c/(rSin(ArbCos(x/r)))
となるんでは？？？

お礼

回答ありがとうございます。
質問の仕方がいまいちでしたね。
rは定数です。

非常に参考になりました。