往復運動を等速にするためには？

質問

みなさん、下記の問題、三角方程式の微積分ができれば解けそうなのですが、できませんでした。
教えてください。

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XY座標系において、（0.0）を中心として半径rの円があり、その円周上を可変な角速度ωで一方向に回る点Aがある。
点Aを一方の端として一定の長さL（L＞r）の線があり、Aではない端点Bは常にX軸上を移動するとするとき、
左右に動く点Bの単位時間あたりの移動量（移動速度）を一定にするための角速度ωを求めなさい
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じつは仕事上、このような動きを実現したいのですが、計算式ができず困ってます。よろしくお願いします。

回答No.3

orcus0930

1次元の往復運動では進行方向を逆にしないといけないので、
必ず速度が0になってしまいます。
なので、恒常的に等速で往復運動を行わせることは不可能です。

実システムとして実装するなら、
等速で動く範囲を限定して、その範囲で等速にするしかないでしょうね。
移動速度が
V → 0 → -V → 0 → V → 0 → -V → ……
とスッテプ上に速度変化させるにはモーターを無限大で回転させなければなりませんが、そんなことは不可能です。

あと、あなたのシステムを想像してみましたが、
Aを一方向に回すと、おそらくABを直線に保つことはできません。
ABが歪むと思います。
システムを根本的に変える必要があるかもしれませんね。
Aの回転方向を限定しなかったり、Aの起動を楕円にしたりしないといけないかもです。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね。そうですよね。
点Bが折り返す付近では、必ず0になりますよね。

実際は、角速度ωには上限を決めて運用しようと考えてます。
また、点BはLMガイド上を移動し、直線ABは金属のリンクを使うつもりなので、歪む心配は無いかなと思ってます。

回答No.2

inara1

点AがX軸上に来たときに点Bの移動速度は 0 になるので、全ての時間 t に対して点Bの移動速度を一定とするには、 ω = f(t) = 0 以外にないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね。
言葉足らずでした。
実際の運用時には、角速度ωに上限を設けようと思ってます。
その上で、”ほぼ”等速で往復運動する計算式を得たいのです。。。

回答No.1

nious

かなり大雑把です。

ωはtと共に変化するからtの関数：ω=f(t)になるでしょう。
時刻tに於ける点Bのx座標は、初期位相を0として条件から、
x=r*cos(ωt)-√{L^2-r^2*sin^2(ωt)}
Bの移動速度=dx/dt=-(ω't+ω)sin(ωt) + {r^2(ω't+ω)sin(ωt)cos(ωt)}/√{L^2-r^2*sin^2(ωt)}=k(定数)

これは、ω'、ω、tを含む微分方程式だから、
解いてω=f(t)が得られればいいような気もするですが、
無理っぽい気がします。

お礼

回答ありがとうございます。

展開、難しいですよねぇ。