力学

質問

添付した写真の｛７６．１}についてわからないことがあります。（運動方程式）
解答では
　中心線が鉛直となす角度θ，接触点での垂直抗力をR，摩擦力をF，小球のその中心の周りの角速度をωとする。Cは半径a+bの円周上を動くから，

　中心Cの回転　接線方向：M(a+b)d^2θ/dt^2=Mgsinθ-F
法線方向：M(a+b)(dθ/dt)^2=Mgcosθ-R

cの速度について(a+b)dθ/dt=bω (1)
----------------------------------------------------------------------------------
となっているんですが、私は法線方向の式について
　　　　　　　　　　　Mｂω^2=Mgcosθ-R　　　
M｛(a+b)^2/b｝(dθ/dt)^2=Mgcosθ-R　　　　　　(1)より
となると思うのですが私が間違っているのでしょうか？

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

Mｂω^2=Mgcosθ-R で言いたいのは、

Cの、Oを中心とする回転運動で、
左辺は回転運動の向心力を表す式、
右辺は、実際に働く力の合力の、
向心力方向の成分を求めた式、
ということですよね。

であれば、回転運動の中心Oからの、
回転運動しているCの重心(=C)までの
距離は、OC = a+bで、
その回転運動の角速度は、dθ/dt なので、
模範解答の式が正しい、ということになります。

質問者さんの式の左辺・Mbω^2 だと、
回転運動の半径がb、
角速度がωなので、
小球自体の回転運動
(Cを中心に角速度ωで回る)
を表す式になってしまいます。

そういう形でみたとしても、
Mbω^2 だと、小球自体には、質量がなく、
円周上のどこかの点に、大きさのない、
質量Mの重りがついていて、それがCの回りに
回転運動するときの、向心力、という話に
なってしまいます。

お礼

なるほど！よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.4

htms42

＃２です。
＃３様ご指摘ありがとうございます。
私の勘違いでした。

お礼

解答ありがとうございます。

回答No.3

yokkun831

横から失礼します。すべりなしの束縛条件についてのみコメントします。

小球の回転角をφとしますと，小球の角変位θのとき
aθ = b(φ-θ)
が成立しますから，
(a+b)θ = bφ
すなわち，
(a+b)dθ/dt = bω
で合っています。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

htms42

小球の重心の運動について見ています。
小球はＯを中心とする半径ａ＋ｂの円運動をしています。
この円運動に対して向心加速度が生じています。

この問題では「完全に粗い」という表現が使われています。
「滑らずに転がる」という条件のことだろうと思います。
そうであれば　(a+b)dθ/dt＝ｂω　は誤りです。adθ/dt＝ｂω　のはずです。
円周の関係から出てくる式です。
斜面を転がる場合であれば重心の速度に置き換えてV=ｂωが成り立ちますが円周上を転がる場合には当てはまりません。

解答では離れる点でのcosθの値はいくらになっているのでしょうか。

まさつがなくて転がらずに滑るという問題であれば高校の物理でも出てきます。
その場合であればcosθ＝２／３が離れる点での値です。
滑らずに転がるという場合であればこの角度よりも少し大きい角度になります。
回転にエネルギーを使う分、同じ角度でも速さが遅くなるからです。
この遅くなり方はａとｂの値に関係するはずです。
ａ＞＞ｂであれば一定値に近づくでしょう。
(a+b)dθ/dt＝ｂω　だとして解くと解はその一定値になっているはずです。