等速円運動での張力について

質問

等速円運動に関する問題について教えて下さい。

長さlのひもの一端を中心、もう一端に質量mのおもりを
つけて等速円運動させたとき, 角速度をωとすると中心Oの
張力T0は,

T0= mlω^2

で合っていますか？

また, 中心からの距離がx(0<x<l)である点における張力T_1
の求め方を教えて下さい。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>おもりを付けるのではなく、線密度λの一様なひもを回転させる場合でした。

ひもの長さは 1m かな？

そう仮定すると

中心から x の距離にあるひも片にかかる遠心力はひも片両端の張力差とつりあうはずだから

λdx・xω^2 = -dT(x)/dx・dx (T(x)は中心からの距離 x での張力)

整理して
dT(x)/dx = -λxω^2
積分すると
T(x) = -λ(x^2/2)ω^2 + C(積分定数)

x=1 はひもの端っこなので、張力は 0 のはずなので
T(1) = -λ(1/2)ω^2 + C = 0 → C = λ(1/2)ω^2

だから
T(x) = λ(1/2)ω^2(1-x^2)

オンラインで書いてるので間違ってるかも。

お礼

ありがとうございます、解決しました！
「一様なひも」の取扱い方を間違えていたことが原因でした。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>中心からの距離がx(0<x<l)である点における張力

ひもの質量が十分小さければ、張力はどこでも同じになります。

補足

ありがとうございます。
質問するために問題を単純化しようとして、少し間違えていました。
おもりを付けるのではなく、線密度λの一様なひもを回転させる場合でした。