角速度一定の証明

質問

角速度一定の証明
質量ｍの物体が半径Rで円運動する時のωが一定になることの証明、またその値を求めよ

極座標を使ってｘ＝rcosωt y=rsinωtとして計算していくと

加速度をa、速度をｖとして
a=-ω^2r
という式がでてきて

a,rはともに一定だからωは一定

これは最後ちょっと強引な感じがするのでどなたかちゃんとした回答を教えていただきたいです

回答No.5

tekcycle

工学部でも物理が要るところ要らないところあると思いますが、まぁ教養として身につけておいた方が良いでしょう。

もう一つ彗星の質問をしていましたよね。
だから、実は衛星の円運動のような話だろうと見当は付いていたのです。
地球の周りを月が回っているような話でしょう。
ひもとおもりの話はしましたが、その場合は、ひもによって向心力が与えられています。
しかし、月と地球の間にはひもも何もありません。
では向心力は何によって与えられているのでしょう。
万有引力でしょう。(言葉が適切かどうかは門外漢なんで知りません)
質量のある物同士は引き合う。理由は知りませんけど。
その力は、おそらく距離の二乗に反比例するのでしょう。
磁石を考えてみると、二つの磁石を遠く離してやると、さほど引き合いませんよね。
ところが、近付けていくと、引き合う力が強くなる。
おそらく電子と＋極もそうでしょう。
まぁそんな感じで、万有引力を向心力に、円運動をしているわけです。
円運動をしているのだから、遠心力がかかります。
これが万有引力と『釣り合っている』のです。

物理、力学は、何と何が『釣り合う』のか、が非常に大事です。
まず、万有引力Ｆ1はどうなっているかというと、
　Ｆ1＝Ａ/Ｒ^2
です。
次に、遠心力Ｆ2は、
　Ｆ2=＝ｍＲω^2
です。
ってすっかり忘れて検索して調べましたが。こんな式があったっけ？という状態です。これを証明なしに使って良いかどうかは判りません。
まぁとにかく、Ｆ1とＦ2が「釣り合っている」から円運動をしていられるわけです。(でなければ地球から月が離れていったり逆に地球に月が落ちてくるようなことになります)
　Ｆ1＝Ｆ2
です。
物理の"＝"は、右辺と左辺が釣り合っている、という意味でもあります。数学の等式とはちょいと違うそうです。
Ｆ1とＦ2を書き直すと、
　Ａ/Ｒ^2＝ｍＲω^2
となります。
　ω＝省略
となり、右辺に変数はありませんから、ωは一定です。
なお、Ａは万有引力の定数と質量の変数(一般的には。ここでは定数)が含まれた値でしょう。おそらく。

上記の議論が正しいのかどうかは全く責任が持てません。
何か問題が変なような気がしますし。
最初に書いたかも知れませんが、半径一定で角速度が変わるなら、それにつれて向心力や質量が変わることになります。
地球と月のような話なら、向心力は万有引力でしょうから、簡単なモデル上では変わらないでしょう。

まぁとにかく、『力が釣り合う』ということに着目してください。
円運動していられるのは、遠心力と向心力が釣り合っているからです。
机の上の物が落下せず静止しているのは、物にかかる重力と机の抗力が釣り合っているからです。
勿論、釣り合ってない状態の物もあります。
落下する物体は、力が釣り合ってないから動いてしまうんで。

細かい言葉の使い方等々他にも間違っているところはあるかも知れません。
門外漢ですので。
そこはお気をつけください。

回答No.4

tekcycle

> 「半径ｒで円運動する物体にかかる向心力はＡ/ｒ^2とする　Ａは定数」

ａをＡと書き換えておきました。
まずこの式の意味が解りますか？
向心力、回転中心に引きつける力が距離の二乗に反比例する。
どういう現象でしょう。
その条件が無くてもそもそもそういうものだったのだと思います。
まずそこをきちんと想定してみましょう。
それで解かないと、意味は半減です。
で、その式のうち、定数と変数はどれでしょう？とすると、この場合向心力は？

さて、遠心力と向心力が釣り合わなかったら運動はどうなるでしょう。
あなたがおもりを回しているとき、速度一定で遠心力を強めたり弱めたりしたらどうなるでしょう。
円運動をしている、ということはどういう事なのか。何と何が「釣り合って」いるのか。
ａが一定、というのは、そこが乱暴で間違っていたのです。
追加条件の上ではxxxxxxですがね。

ところで、あなたは高校物理をきちんと身につけていますか？
学部学科は？
少なくとも私の答え方はそれによって変わります。

お礼

向心力は一定ということでしょうか？

一応工学部なので高校物理はやりましたが一番の苦手科目できちんと身につけてるとは言い難いです

回答No.3

sanori

すみません。書き間違いがありましたので訂正します。

（ωｔ）’＝　ｄω／ｄｔ・ｔ　＋　ω
ですので、

ｖx　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　－ｒ（ωｔ）’sinωｔ　＝　－ｒ（ｄω／ｄｔ・ｔ　＋　ω）sinωｔ
ｖy　＝　ｄｙ／ｄｔ　＝　ｒ（ωｔ）’cosωｔ　＝　ｒ（ｄω／ｄｔ・ｔ　＋　ω）cosωｔ

回答No.2

tekcycle

門外漢ですが、aが一定であるとはその文章のどこにも書かれていません。
向心力aがどのように生まれるのかという条件がありません。
例えば、あなたがおもりをひもで縛って回転運動させれば、角速度はある程度変更可能なわけです。
そのときaも変わるはずです。
という辺りがヒントかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます
聞いてみると出題側から向心力のの条件が出されました

「半径ｒで円運動する物体にかかる向心力はα/r^2とする　αは定数」

です。この条件が出されたら何か変わるのでしょうか？

回答No.1

sanori

こんにちは。
質量ｍの物体が半径Rで円運動する時のωは、一定とは限りません。
たとえば、ジェットコースターで３６０°回転するとき、下でのスピードより上でのスピードの方が遅くなります。

ｘ＝rcosωt， ｙ=rsinωt
と置くと、

ｖx　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　－ｒ（ωｔ）’sinωｔ　＝　－ｒ（ｄω／ｄｔ・ｔ　＋　１）sinωｔ
ｖy　＝　ｄｙ／ｄｔ　＝　ｒ（ωｔ）’cosωｔ　＝　ｒ（ｄω／ｄｔ・ｔ　＋　１）cosωｔ

当然ながら、ωが一定と最初からわかっていれば、角加速度（ｄω／ｄｔ）がゼロですから簡単です。