等速円運動の「速さ」って？

質問

現役高校生です。
この前授業で等速円運動というものを習ったのですが、何か違和感を感じたので質問します。
角速度ωで半径aの円周上を動く点Pの速さ（絶対値ｖベクトル）は、aωと表されます。

しかし、この「aω」という数にはどのような意味があるのかイマイチわかりません。
例えばω＝π/3、a=2とすると速さは2π/3となりますが、これは一体なんの数値を表しているのでしょうか？π/3というのはもともと角度を表していたのに、いきなり「速さ」という数字になってしまうのはどういうことなのでしょうか？

また、「π/3」の代わりに「60°」を入れた場合、（弧度法から度数法にしました）速さは60°×2（120?)になります。そしてこれは先程行った弧度法での結果と等しくなければなりませんが、全く形は違います。
どうすれば同じ値になるのでしょうか。

弧度法と度数法、いずれにせよ「角度」が「速さ」の中に入っていることが違和感の原因かもしれません。
どなたかここのあたりの解釈の仕方などを高校生でもわかるように説明していただけないでしょうか。

回答No.5

CC_T · ベストアンサー

単位を付けずに見ているから混乱するのです。
計算にはすべからく単位を付けるクセをつけると間違いも減るし、単に公式で覚えるよりも理解が深くなりますよ。

rad（ラジアン）は計算を簡単にするために導入されたものです。
『弧度法』についてを再確認してみてください。

～～～

角速度ω[red/s]で半径a[m]の円周上を動く点Pの速さは、aω[m・rad/s]です。

ここで、m・rad は、
　半径×角度/180°
のこと。これはつまり、
　直径×（角度／360°）
と直せます。これは何の式ですか？

扇形の中心角と弧の長さの関係式ですね。

つまり、m・rad/sという単位は、「1秒間」あたりに点Pが移動する「弧の長さ」、すなわち点Pの移動距離を示すのです。

単位時間当たりの移動距離の事を何と言いますか？
そう、速度ですね。

そういうことです。

例えば、距離[m]、速度[m/s]、加速度[m/s^2]の関係なんかも単位を付ければ正しい理解がしやすい。
速度は１秒間あたり[1/s]の変位、すなわち直線移動した距離[m]を指すものだから、[m/s]になる。
加速度は１秒間あたり[1/s]の速度[m/s]の変化を示すから、[（m/s）/s]＝[m/s^2]になる。

m・mがm^2となっていたり、２×1/2＝１となって省略されていたりと、「公式」で表される数式は係数や次数を整理して最もシンプルな形で示されるのが常。成り立ちを正しく理解するには分解してみることもポイントだと思いますよ。

参考URL：

http://dic.nicovideo.jp/a/%E5%BC%A7%E5%BA%A6%E6%B3%95

お礼

やはりみなさんおっしゃていた通り、ラジアンで表しているからこそaωという値が実際の距離を表しているということなんですね！
CC　Tさんのおっしゃる通り、今度からは少し理解に苦しむようなことがあったらこんどは単位に注目してみようと思います。
みなさんのお陰で理解することができました！ありがとうございました！

回答No.4

foomufoomu

最後の部分の表現がおかしかったので、書きなおします。

ラジアンは角度を表す単位ですが、じつは、単位はありません（ヘンな表現ですが）
ラジアンの定義は、次のように
http://www.s-yamaga.jp/nanimono/sonota/kodoho.htm
半径１の扇形の弧の長さです。別の言い方をすれば　ラジアンは弧の長さと半径の比　です。

したがって、ラジアンに半径をかければ弧の長さで、それが回転速度（単位時間中に動く角度）を表すなら、単位時間中に円周上の1点が描く弧の長さになります。

お礼

やはり、aωは実際に動く距離なんですね！
だんだん分かって来ました！回答ありがとうございました！

回答No.3

foomufoomu

ラジアンは角度を表す単位ですが、じつは、単位はありません（ヘンな表現ですが）
ラジアンの定義は、次のように
http://www.s-yamaga.jp/nanimono/sonota/kodoho.htm
半径１の扇形の弧の長さです。別の言い方をすれば　ラジアンは弧の長さと半径の比　です。

したがって、ラジアンに半径をかければ弧の長さで、さらにそれに回転速度をかければ、単位時間中に円周上の1点が描く弧の長さになります。

回答No.2

ereserve67

xy座標平面上において点Pが中心O半径aの円周上を「等速」回転運動しているとします．

定点A(1,0)をとり

θ=∠AOP

とします．時刻0にPがAを出発し，反時計まわりに回転しているとしましょう．点Pが軌道を沿って動く距離をｌとすると，

(1)l=aθ

ですね．角速度が一定というのは角θが時刻tに比例するということです．その比例係数をωとかきます：

(2)θ=ωt

ωは毎秒回転する角度です．(1)，(2)より進んだ距離は

l=aωt

となります．つまり点Pの速さｖは

ｖ=l/t=aω

ω＝π/3、a=2なら半径2の円周を毎秒π/3回転するので，毎秒2π/3進むということです．

(1)はθがラジアン単位で成り立つ公式なので度数法をつかってはいけません．使うならラジアン単位に戻して間がないといけないです．ですから，最初からラジアン単位を使いましょう．

※微積分を知っているなら(2)は

dθ/dt=ω（一定）

ということです．

お礼

なるほど、aωというのは実際に動く距離をちゃんと表していたんですね！
そしてそのためにはωはラジアンでなくてはいけない。。。

なんとなく分かりました。回答ありがとうございました。

回答No.1

yyssaa

ωの単位は角度ではなく、角度/時間だから角速度というんでしょ？

お礼

しかしその「角速度」という概念がよくわからないのです・・・。
回答ありがとうございました。