expの展開

質問

a=1/b*exp(-(c/b)^2)という式があります。
a,cは定数です。

この式をbについて解きたいのですがどうしていいかわかりません。

教えてください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

y=f(b)=a-(1/b)*exp(-(c/b)^2)
でグラフを描いて見て下さい。
ｂを変化させてy=0となるbの値が解となることは分かりますね。

a,cの値によって
解の個数が0個、1個、2個のケースが出てきます。
0個ということは、質問の式を満たす実数bが存在しないという事です。
a=±0.1,c=5の時や
a=0の時
などです。

a=±0.1,c=2の時は質問の式を満たす実数bが2個存在します。
このbは解析的には求まりません（つまり初等関数では表せません）。
特殊関数のLambert W関数を使わないとbの式は表現できません。
2個のbが存在する時のbの１つは
b=√{-2a^2*c^2/W(-2a^2*c^2)}/a
となります。
参考URLの最初のURLのLambert W_0(X),W_-1(x)を使えば
多分、bを2個とも表現できるかと思います（自信なし）。
b_1=√{-2a^2*c^2/W_0(-2a^2*c^2)}/a
b_2=√{-2a^2*c^2/W_-1(-2a^2*c^2)}/a
ご自分で確認下さい。

なお、a,cの具体的数値がが与えられるなら
bは
Newton法の数値計算で簡単に求まります。

Lambert W関数については参考URLをご覧下さい。
参考URL
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

参考URL：

http://www.ams.org/mathmedia/mathdigest/md-200503-toc.html

お礼

非常に丁寧な回答をありがとうございます。

なんとかやってみたいと思います。

回答No.2

nious

つい最近にも同じような形をした方程式についての質問がいくつかありました。

大変残念ですがこのような形をした超越関数を含む方程式は解けません。
ただしa、cの値が分かっていて、bの近似解でもよいなら
ニュートン法などによりそれを見つける事は多分可能だと思います。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
bを近似解として解く場合はどのようにすればいいのでしょうか。
テーラー展開とか昔にやったような気がするのですが、まったく覚えていません・・・

よろしくおねがいします。

回答No.1

chie65536

y=exp(x)のときx=ln(y)