y=(exp(-at)-exp(-bt))/(b-a)をt=…の式にす

質問

y=(exp(-at)-exp(-bt))/(b-a)をt=…の式にするには？

yがある値をとる時のtの値を算出したいのですが、式が変換できずに困っています。
どなたか解る方がいらっしゃいましたら、解答お願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

ab<0の時　yは単調増加関数または単調減少関数でyとtが１：１に対応しますので、逆関数が存在します。しかし数値係数でなく、a,bのような文字定数に対しては tをyを使って一般的に表すことは無理でしょう。a,bが具体的な数値係数の場合はtの範囲を場合分けすればニュートン法（数値計算法）を使って yに対するtを求めることが出来ます。

ab>0の時　単調増加関数または単調減少関数にならず、単一の極大値または極小値をもちますので
全ての実数 tに対する逆関数は存在しません。なぜなら tは yの２価関数になるからです。
yの変域を極大値または極小値の上または下の範囲に限定すれば１価関数に出来ますので
逆関数が存在します。しかし a,bのような文字定数に対しては tをyを使って一般的に解析的には求めることは無理でしょう。
a,bが具体的な数値係数の場合はtの範囲により場合分けすればニュートン法（数値計算法）を使って yに対するtを1個または2個（2価関数の範囲）、求めることが出来ます。

お礼

各条件における算出の仕方まで回答していただき、ありがとうございます。
具体的な条件を記載していないために、お手を煩わせてしまい申し訳ありませんでした。

再度質問になってしまうのですが、もしよろしければ以下のことについて教えていただけますでしょうか。

実際の条件はa>0、b>0、t>0で、tを算出する際には、a,bに数値を当てはめて計算する予定です。
上記の式で求めたかったのは、yがある値に到達するまでの時間(t)です。
（極大値がそれよりも小さい場合はtは解なしと判断し、2つ解がある場合は値が小さい方を選択します。）
a,bの値を変動させた場合のt(時間)を求めたかったため、t=・・・の式にしたかったのですが無理なようですね。

この場合、
(1) a,bに数値を当てはめる。
(2) y=(exp(-at)-exp(-bt))/(b-a)の極大値およびその時のt(Tmとする)を求める。
(3) 極大値が設定した値よりも小さければ解なしとする。
(4) 大きい場合、0<t<Tmの範囲で数値計算法によりtを求める。
という手順で良いでしょうか？

また、数値計算法かそれを詳しく解説しているサイトを教えていただけますでしょうか。

拙い文章のため分かり辛いかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足質問の回答

>この場合、
(1) a,bに数値を当てはめる。
(2) y=(exp(-at)-exp(-bt))/(b-a)の極大値およびその時のt(Tmとする)を求める。
(3) 極大値が設定した値よりも小さければ解なしとする。
(4) 大きい場合、0<t<Tmの範囲で数値計算法によりtを求める。
という手順で良いでしょうか？

↑の手順で良いですよ。

>また、数値計算法かそれを詳しく解説しているサイトを教えていただけますでしょうか。
ニュートン法（ニュートン=ラプソン法ともいう）は高校の教科書に載っている方法です。

参考URL
http://computation.cside.com/math/math008.html

エクセルを使ったニュートン法
http://homepage1.nifty.com/gfk/excel_newton.htm

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートン法

お礼

ありがとうございました。
おかげ様で、tの値を算出することができました。
ちょうどtを算出するエクセルファイルを作成していたところだったので、
紹介いただいたサイトがとても参考になりました。

回答No.1

dainghiavotinh

もし　x = exp(t)
式は　y = (x^(-a) - x^(-b))/(b-a)
a,bは具体な値があれば、簡単に解けるが、総括的に解けるかどうか、まだ分かりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
やはり、a,bが文字係数のままで式を変換するのは難しいのですね。