この数学的帰納法を用いた証明問題がわかりません。

質問

この数学的帰納法を用いた証明問題がわかりません。

（２）n 回微分可能な関数f(x) のn 次導関数をf^(n)(x) で表しf^(0)(x) = f(x) と定
義するとき，次の公式(Ｐ) が成立する．以下の問(ａ), (ｂ) に答えなさい．

(Ｐ)d^n/dx^n ( e^xf(x) ) =Σ(r=0からn)ｔ(n r)e＾xf＾(r)(x) （ n ≧ 1, t(n r)=n!/( r!(n - r)! ) ）

(ａ) g(x) = x^2e^x のn 次導関数g^(n)(x) を求めなさい．

(ｂ) 数学的帰納法を用いて公式(Ｐ) を証明しなさい．ただし，必要であれ
ば次の性質を用いてよい．

t(n ,r - 1)+t(n,r)=t(n + 1,r) （r ≧ 1; n ≧ r）

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画像が見づらくて申し訳ありません。

(a)はh(x)=x^2と置くと、
g^(n)=d^n/dx^n( e^xh(x) )=Σ(rからn)e^x h^(r) (x)
これで合っていますか？

(b)は
n=1のときは明らかに成り立つ。
n=k(kは自然数)のとき成り立つと仮定し、n=k+1のときの式変形がどうもうまくいきません。
(n≧3のときh^(n)=0であるのはわかります。)

どなたか解説をよろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

変な問題だね。
どうして (b), (a) の順番じゃないんだろう？
だから誤解が起こるんだろうが、

＞ n≧3のときh^(n)=0であるのはわかります。

(b) は、(a) の例に限って成立を示すんじゃなく、
一般の n 回微分可能な f(x) について (P) を
示すんだと思うよ。

n=1 のときは、「明らか」だけじゃなく、
積の微分法に帰着されることを書いといたほうがいい。

n=k で成り立つとすると、
(d/dx)^k { e^x f(x) } = Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x)
だから、
(d/dx)^(k+1) { e^x f(x) } = (d/dx) (d/dx)^k { e^x f(x) }
= (d/dx) Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x)
= Σ[r=0からk] t(k,r) (d/dx) e^x f^(r)(x)
= Σ[r=0からk] t(k,r) { e^x f^(r)(x) + e^x f^(r+1)(x) }
= Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x) + Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r+1)(x)
= Σ[r=0からk] t(k,r) e^x f^(r)(x) + Σ[r=1からk+1] t(k,r-1) e^x f^(r)(x)
= e^x f^(0)(x) + Σ[r=1からk] {t(k,r) + t(k,r-1)} e^x f^(r)(x) + e^x f^(k+1)(x)
= e^x f^(0)(x) + Σ[r=1からk] t(k+1,r) e^x f^(r)(x) + e^x f^(k+1)(x)
= Σ[r=0からk+1] t(k+1,r) e^x f^(r)(x).

お礼

非常にわかりやすい解説ありがとうございます。
丁寧に教えていただき大変感謝しています。
自分には少し式の変形が難しいですね。要復習します。