三角関数の微分 ライプニッツの定理の利用でとけるはずなのですが…。

質問

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【問題】
y=f(x)=sin(α arcsin x)
　　f^(n) (0)を求めよ。
　　　　↑
　　　f(0)をn回微分したもの　
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行き詰ってしまいました。私の回答を載せさせてもらいますので、ご指摘や模範解答のほう宜しくお願いします。
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【自分の回答】
y'=1 / √(1- α^2 * sin^-2 x)=(sin x)/ √(sin^2 x - α^2)
∴y'*√(sin^2 x - α^2)/(sin x)=1
両辺をxについて微分し両辺√(sin^2 x - α^2)を掛けて整理すると、
y"*sin x +y'*α^2 * (cos x) / (sin x) =0
⇒(1/α^2)* y" *(sin^2 x) /(cos x)+ y'=0
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ここでライプニッツの定理や数学的帰納法を使って計算していくのですが、
f'(0),f"(0),f^(3) (0),..........といった感じに出来ません。
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回答No.2

jung_taro · ベストアンサー

ご参考になるかどうかわかりませんが、

y=f(x)=sin(α arcsin x)…（*）
ということは、
arcsiny=αarcsinx ということですよね。
ここでx=sinθ , y=sinφ　…()とかおいたら、
φ=αθ
になるから、
()より（*）はx=sinθ , y=sinαθ　というスッキリした形になると思います。

さて、
y'=(dy/dx)
=(dy/dθ)(dθ/dx)
ですから、ここからｙ’をθの式で表すと簡単でよいのではないでしょうか。

少なくとも回答より先に結果の予測が立つと思います。

回答No.1

narucross

微分の計算間違えていませんか？
sin(～)という関数を微分したのに、
cos(～)*...という形にならないことに疑問を持たれなかったのでしょうか。

ちなみに細かいことですが、f'(n)(0)はf(0)をｎ回微分したものではなく、関数f(x)をｎ回微分した関数にｘ＝０を代入したものです。

補足

ありがとうございます！！公式の丸暗記になっていて微分を間違えていました。自分でもう一回計算しなおそうと思います。