文字で割る

質問

高校で出た問題について質問させていただきます。

原始関数としてxf(x)-2x^3+2x^2を持ち、f(1)=4である２次関数f(x)を求めよ。

まず、d/dx{xf(x)-2x^3+2x^2}=f(x)とし、
微分して、f(x)+xf'(x)-6x^2+4x=f(x)
ここからですが、解答では、整理してf'(x)=6x-4となっています。
両辺のf(x)を消去してxf'(x)-6x^2+4x=0とした後、xf'(x)=6x^2-4xとするのだと思いますが、
両辺をｘで割ることになってしまいます。
この場合は両辺をｘで割ってよいのでしょうか。
それとも、別のやり方があるのでしょうか。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ポイントは、問題文にある「２次関数f(x)を求めよ」という条件です。

[1]「原始関数としてxf(x)-2x^3+2x^2を持ち、f(1)=4である関数」は幾らでもあります。たとえば

x＝πのときf(x) = 999
それ以外のときf(x) = 3x^2-4x+5

だとか、

xが整数のときf(x) = 4
それ以外のときf(x) = 3x^2-4x+10000

だとか。しかし「２次関数f(x)」という条件が付いているおかげで、答がひとつに絞れるという仕掛け。

[2] さて、「両辺をｘで割ってよい」のもf(x)が2次関数（従って、f'(x)が1次関数）に限定されているからです。というのは、

xf'(x)=6x^2-4x を満たす関数f'(x) …(A)

というだけだと、x≠0のとき両辺をxで割って

x≠0のときf'(x) = 6x-4 …(B)

とできるから、(A)と(B)は同じ意味です。けれども、x=0の場合は両辺をxで割れないから、この条件(A)だけではf'(0)が決められない。実際、たとえば

x≠0のときf'(x) = 6x-4
x＝0のときf'(x) = √2

であっても、確かに条件(A)を満たしています。

さてここで、「f'(0)は1次関数である」という縛りが付くことによって、初めて

任意のxについてf'(x) = 6x-4

である（つまりf'(0)=-4である）ことが決まる訳です。

　ところで、（ANo.2にある）多項式環の話は、こういうことをもう少し一般的に（個別の場合についていちいち検討するのではなしに）考えるためのアプローチですね。多項式を「数同士の足し算かけ算などをやると答として数が出てくるような、数の演算を組み合わせた式」という風に見ないで、むしろ、多項式それ自体が「演算の対象」だと捉えるんです。（後者で言う「演算」は数を相手にする演算ではなく、多項式を相手にする演算なので、同じ"+"という記号を使っていても意味が違います。）そして、「多項式同士の足し算かけ算などをやると、答として多項式が出てくるような体系」を考える。こういう考え方を「代数学」と言います。

　ともあれ、大抵の人が気にもとめずに流してしまうところに引っ掛かりを見つけるセンス、ヨイですね。

お礼

要するに「2次関数f(x)」がミソなんですよね？
おかげで理解できました。

[1]のような関数は高2の時点で理解できるのでしょうか？
今後習うことを期待します。

回答No.4

stomachman

ANo.3へのコメントについてです。

> [1]のような関数は高2の時点で理解できるのでしょうか？

と仰るところを見ると、「関数ってのは何か g(x)= ...という式で表されるもの」という風に捉えていらっしゃるんでしょうかね。
　でも関数g(x)は元来、「定義域（この場合実数）の要素xそれぞれに対して、一つのコタエを対応づけるモノ」ということなので、どんな風に対応づけてもいい。一本の式で書けるようなものばかりが関数じゃありません。
ANo.3に挙げた例はグラフを描くことができます。たとえば

>> x＝πのときf(x) = 999
>> それ以外のときf(x) = 3x^2-4x+5

なら、f(x) = 3x^2-4x+5のグラフを描いて、その曲線上、x=πの所に白丸を描き、(x,y)=(π,999)のところに黒丸を描く。

　でも、積分する際には「孤立した点だけ値が飛んでる」という箇所は無視できるので、原始関数は同じになる。なんで無視できるのか、直感的につかむには以下を考えてみるといいんじゃないかなあ：
f(x)=3x^2-4x+5
をx≦Xの範囲で定積分したものをF(X)として、X＞πだとしましょう。
　で、π+ε＜Xとなるようなε＞0を考えて、F(X)を、「f(x)をx≦π-εの範囲で積分したもの」A(ε)、「f(x)をπ-ε＜x＜π+εの範囲で積分したもの」B(ε), 「f(x)をπ+ε≦x≦Xの範囲で積分したもの」C(ε,X)に分けてみる。
F(X)=A(ε)+B(ε)+C(ε,X)
ここでε→0の極限を考えれば、
A(ε) → 「f(x)をx＜πの範囲で積分したもの」
C(ε) → 「f(x)をπ＜x≦Xの範囲で積分したもの」
B(ε) → 0
となる。（B(ε) → 0になるのは、積分の範囲の幅が0になっちゃうからです。）つまり
F(X)=A(0)+C(0,X)
であり、だからf(π)の値が幾らだろうとF(X)には関係ない。

（原始関数は同じになるけれどもグラフが描けないようなのもあります。たとえば、
xが有理数のときf(x) = 999
それ以外のときf(x) = 3x^2-4x+5
　という関数。こちらは大学のレベルです。）

お礼

なんとか理解はできましたが、なんだか不思議な感じがします。
数学って奥が深いですね。
何はともあれ、長文の回答ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

0 除算のことを気にしているのだと思いますが、
この場合、x で割ることに何の問題もありません。

6x~2-4x を x で割るというのは、
多項式 6x~2-4x を多項式(の一種としての単項式)
x で割るのであって、
6x~2-4x の x に何かを代入したときの式の値を
その x の値で割っているのでは無いからです。

質問の除算は、値中心の考え方では、
x≠0 のとき割り算できて f(x)=6x-4 だが、
f(x) は多項式であることが判っているから、
x≠0 の範囲で 6x-4 に一致するものは、
全域での 6x-4 以外には無い
…ことによって正当化されます。
しかし、通常、これは、
「多項式として割り算すれば」と書けば十分で、
上記のような説明を、いちいち書く必要はありません。

多項式としての割り算が 0 除算になるのは、
定数式 0 で割ろうとした場合だけです。

お礼

回答ありがとうございました。
何となくわかった気がします。

回答No.1

koko_u_u

>この場合は両辺をｘで割ってよいのでしょうか。

もちろん、突然そのような変形をすれば減点です。
どのような前提条件が必要かを考えて、補足にどうぞ。

補足

x≠0しか思いつきません。
ない頭で考えてもこれが限界です…。