積分に関する逆問題

質問

F（a）=∫f(x)・g(x.a)dx ＜積分範囲は0から∞＞
F（a) と　g(x.a)が分かっている時、
f(x)を求める方法はあるのでしょうか？
(aとｘは実数値です）

ご存知の方いらっしゃいましたら、ご教授お願いいたします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

F( ）は
f(x）と関係のある関数ですか？
それともf(x)と関係のない関数ですか？

補足

書き込みありがとうございます。
また、遅くなって申し訳ありません。
Fとｆとは全く関係が無い状態です。
また、フーリエ変換やラプラス変換で定義されないような状態です。

他の回答者様のご意見以外で何かありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#66248

＃2です。
積分変数に注意してください。積分方程式では表せませんから。

補足

補足事項、ありがとうございます。
積分変数に注意するとは具体的にどの様なことでしょうか？
よく理解できていないので、さらに補足して頂けると幸いです。

回答No.3

grothendieck

これはFredholm型第1種積分方程式と呼ばれるものです。第2種の積分方程式が主として考察されています。Fredholm型第1種積分方程式を解くためには、F（a) とf(x), g(x,a)を区間＜0から∞＞で完全系をなすある関数系で展開します。これを積分方程式に代入すると展開係数についての線形代数方程式が得られ、f(x)が求まります。

参考URL：

http://eom.springer.de/I/i051400.htm

お礼

書き込みありがとうございました。
大変参考になりました！
Fredholm型第1種積分方程式について色々調べてみましたが、色々な方法がある様で、一番いよい方法を探してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#66248

f(x) がある量 x の頻度分布を示す関数を示し、
g(x,a) が x における重み関数を示していると考えると、
F(a) は、その量 x の平均値に∫[0～∞]g(x,a)dx
を掛けたものと考えることが出来ます。
つまり、

f(x) の x=0～∞ における平均値、f_av(a) は
f_av(a)＝∫[0～∞]f(x)・g(x,a)dx/∫[0～∞]g(x,a)dx
　＝F(a)/∫[0～∞]g(x,a)dx

従って、F(a) を ∫[0～∞]g(x,a)dx で割れば、
f(x) の x=0～∞ における平均値が求まります。

積分結果しか分からない以上、それより詳細な
f(x) を求めるのは不可能です。

お礼

書き込みありがとうございます。
fの平均値を求める方法としてその様な考え方があるとは知らず、大変参考になりました。

ありがとうございました。