部分積分の疑問

質問

部分積分とは、部分的に積分するものですよね。全体を積分しなくてもいいんでしょうか。

{ f( x )g( x ) } ′ = f ' ( x )g( x )+f( x ) g ' ( x )
の両辺を積分し，式を整理すると，
∫ { f( x )g( x ) } ' dx =∫ { f ' ( x )g( x )+f( x ) g ' ( x ) }dx
f( x )g( x )=∫ f ' ( x )g( x ) dx+∫f( x ) g ' ( x )dx
∫f( x ) g ' ( x )dx =f( x )g( x )－∫f ' ( x )g( x ) dx
となり，部分積分法の公式が求まる。

とあるのですが、f( x )g( x )を求めなくてはいけないのでは、と思ってしまうのですが。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

「部分積分」というネーミングが悪いんでしょうね。
だから、あらぬ妄想が膨らんでしまうのでしょう。

∫f(x)g'(x)dx を計算するために、まず、右辺第一項の
f(x)g(x) を書き出した時点では、確かに、被積分関数の一部
g(x) だけを積分したかのように見えないこともありません。
しかし、何も、∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) という訳ではなくて、
右辺が f(x)g(x) だけでは合わない分を、-∫f'(x)g(x) で
後からちゃんと補正しています。
それで補正できる根拠が、貴方も書いている「積の微分法」です。

積の微分公式の両辺を積分した際に、全ての項を微分したことは、
質問文中の計算にもあるとおりです。それを、移項しただけですからね。
「部分積分と、積の微分公式によるその補正法」と命名してあったなら、
貴方の疑問は、生じなかったのかも知れません。
授業中に舌を噛む数学教師が、多発したことでしょうがね。

お礼

ご回答ありがとうございました。まだわからないですが。

回答No.6

Tacosan

「見通しをたててそれからはどうなるんでしょうか。」って, 当然
見通しに沿って処理を進める
だけ. 普通は処理をするために見通しをたてるんでしょ?

あと, せめて「どこが/何がわからないのか」くらいは書けない?

お礼

ご回答のご説明が分からないのです。
人に対して、ですます体で話せませんか？
部分積分ができてもこういう言い方はダメですね。

回答No.5

alice_44

＞まだわからないですが。

質問そのものも、何が解らないのかを説明しようとしない横着なものですが、
補足は、更に無精ですね。貴方の解らない部分を、ノーヒントで当てろと？

お礼

私の理解力が悪くてすみませんでした。未だにわからないので正直に言ったまでです。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足について

>>f(x)はそのまま使います。これってなぜなんでしょう。

f(x)は、公式の左辺に書いてあっても、右辺に書いてあっても、同じf(x)だからです。
ただそれだけの単純なことです。深く考える必要なんかないよ。
疑問に思うこと自体、どうかしてると思うよ。頭を冷やせば分かるかと思います。
f(x)はf(x)です。それ以上深く考えない！！

お礼

ご回答ありがとうございました。まだわからないです。

回答No.2

info22_

> f( x )g( x )を求めなくてはいけないのでは、
>∫f( x ) g ' ( x )dx =f( x )g( x )－∫f ' ( x )g( x ) dx

f( x )g( x )を求めるのではなく
g'(x)の原始関数g(x)（つまり、∫g'(x)dx=g(x)）を求めればいいです。
f(x)はそのまま使います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
>f(x)はそのまま使います。これってなぜなんでしょう。

回答No.1

Tacosan

もちろん f(x)g(x) を求める必要はあります. ただ, それは被積分関数である「f(x)g'(x) 全体」を積分したものではなく, 被積分関数の一部分 g'(x) を積分することによって求まります.

実用的には
・g'(x) の部分がきちんと積分できるようにする
・結局 f'(x)g(x) の積分は残ってしまうので, これが積分できるようにする
といった見通しを立てておく必要があります.

お礼

ご回答ありがとうございます。見通しをたててそれからはどうなるんでしょうか。