常用対数

質問

10％食塩水100gの入った容器がある。
この中から10g取り出し、代わりに水を10g加えてよくかき混ぜる操作を繰り返し行う。
食塩の濃度が4％以下になるには最低何回の操作が必要か。

濃度（％）＝食塩の重さ（ｇ）÷食塩水の重さ（ｇ）×１００

食塩の重さ（ｇ）＝食塩水の重さ（ｇ）×濃度（％）÷１００

食塩水の重さ（ｇ）＝食塩の重さ（ｇ）÷濃度（％）×１００

を使いますか？

回答No.2

pascal3141

こういった問題は、上の濃度の公式を使うより、１回の操作で食塩がどのぐらいへるかの割合で考える方がが簡単です。
１回の操作で、１０ｇの食塩水をすてて、水１０ｇを入れるので、残っている食塩の割合は、１－１／１０＝９／１０。よってＮ回繰り返すときの残っている食塩の量は、１０×（９／１０）＾Ｎ。これが４以下になればよい。
１０×（９／１０）＾Ｎ≦４
（９／１０）＾Ｎ≦４／１０
９／１０を何回かけると４／１０以下になるか手計算で数えればすぐに出てきます。（対数を使うほどでもありません。）

回答No.1

okormazd

1.
もとの食塩水の濃度をC(0)[%]とする。
2.
そこからa[g]取り出した中に含まれる食塩の量S(0)[g]は、
S(0)=a*C(0)/100[g]・・・(1)
3.
これにb[g]の水を加えたときの食塩水の濃度C(1)[%]は、
C(1)=S(0)/(a+b)*100[%]・・・(2)
4.(1)を(2)に代入して、
C(1)=a*C(0)/(a+b)
5.
C(2)は同様に、
C(2)=a*C(1)/(a+b)=a*(a*C(0)/(a+b))/(a+b)=a^2*C(0)/(a+b)^2
6.
以下、同様に、
C(3)=a^3*C(0)/(a+b)^3
C(4)=a^4*C(0)/(a+b)^4
・
・
C(n)=a^n*C(0)/(a+b)^n・・・(3)
7.
(3)式に、
C(0)=10[%]
a=10[g]
b=10[g]
を代入して、C(n)が4[%]以下になるnを求めればよい。
8.
10^n*10/(10+10)^n<4
10^(n+1)/20^n<4
9.
常用対数
log(10^(n+1)/20^n)<log4=0.6021
10.
計算する、
log(10^(n+1)/20^n)=log(10^(n+1))-log(20^n)
=(n+1)*log10-n*log2*10
=n+1-n*(log2+log10)
=n+1-n*log2-n
=1-0.3010*n
=-0.3010*n<0.6021-1=-0.3979
よって、
n>0.3979/0.3010=1.3219
11.
nは整数だから、
n=2