バナッハ空間vs閉空間

質問

ノルム空間内で、バナッハ空間と閉空間の違いは何でしょう？閉空間であり、バナッハ空間でないような具体的なノルム空間の例を教えてください。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

すみません、挙げた例には不備がありました。ただ本質的には質問者さんが補足で挙げた例で大丈夫です。不備な点はf(0)=0の全体では弱く閉包は全体になってしまいますね（定数関数が閉包に属するので）。なので訂正します。[0,1/2]上で0になる連続関数全体の閉包を考えればこの閉包は真な部分空間で（f=1は閉包には属さない）後は補足の例（ノルム極限が連続関数ではあり得ない）で良いと思います。

お礼

そうですね。こちらのほうが明らかに真な部分空間になりますね。どうもありがとうございました。勉強になりました。

回答No.1

ringohatimitu

質問内容が定かでないように思われますがお探しの空間というのは
あるノルム空間の真部分空間で「閉かつ完備でない」を満たすもの
という解釈でいいですか？あるいは単に完備でないノルム空間を探してるのでしょうか？すべてのノルム空間はそれ自身閉じてますので後者だとしたらただ単に完備でないノルム空間（例えば[0,1]上の連続関数全体に絶対値の積分でノルムを入れたものはノルム空間ですが完備ではありません）。前者の場合は同じ空間で考えて例えば「f(0)=0を満たす連続関数」からなる部分空間の閉包をとればそれは真な閉部分空間ですが完備ではありません。

お礼

大変ありがとうございます。まずもともとの質問内容ですが、
ノルム空間Xの部分空間Wで、
・W内にコーシー列が存在し、その極限がW内に無い（completeでない）
・WはX内でclosed
の具体例を知りたいと思って質問しました。ご回答いただいた例、確かにその通りです。私の理解では以下のようなストーリーですが、正しいでしょうか？

X=[0,1]上の連続関数全体に絶対値の積分でノルムを入れたもの
W=Xの要素でf(0)=0を満たすものの集合の閉包
と定義すると、当然WはX内でclosedとなるが、たとえばW上では依然として
f_n(t)=
0; for 0 ≦ t < 1/2-1/(2n)
nt+(1-n)/2; for 1/2-1/(2n)≦t≦1/2+1/(2n)
1; for 1/2+1/(2n) < t ≦ 1
のようなコーシー列を定義でき、その極限は不連続関数になる。
したがってWはcompleteでない。