Banach空間で

質問

２つの同値でないノルムを持つベクトル空間がそれぞれのノルムに関して完備であるものをＸとします。このような例として例えば数列空間l_2(N)＝Ｘを考えます。ＸにおけるHamel基底の濃度は連続体濃度で、一方l_1(N)におけるHamel基底の濃度も連続体濃度、したがって両者の間には全単射が存在しそれによってＸ上にl_1ノルムも定義できて明らかに完備になります（ここで当然選択公理は仮定しますが連続体仮説は仮定しません）。ところがこのような構成は全く具体的ではなくl_2ノルムは定義より明らかですがl_1ノルムを計算することは容易ではないように思われます。すなわち基底間の全単射の一つを決定しなければならないわけです。２つのノルムを具体的に計算できるBanach空間の例はあるでしょうか？あるいは上に挙げた例で例えば(1/n)∈Ｘのl_1ノルムも計算できる方法はあるのでしょうか？

回答No.1

kabaokaba

要は，

濃度の等しい二つの集合A，Bがあって
その間にあるはずの全単射を具体的に構成する

ということが根底にあるわけです
これは多分一般には無理でしょう．

ものすごく細かく(Banachの性質とかそういうのも
必要ならば考慮して)議論すれば，
回避できるのかもしれませんが．
この手の議論の根底には
選択公理が潜んでいることが多くて
もし「具体的に構成できる方法」が証明できれば
選択公理が証明されることになるかもしれません．

例えば，選択公理の同値命題に
ツェルメロの整列定理がありますが，
もし任意の集合に対して
具体的（選択公理とかその手の
ある意味「超越的な手法」を使わないという意味）
な整列順序を構成する方法を証明できたら，
それは選択公理の証明になるでしょう．

補足

回答ありがとうございます。たしかに一般にただ全単射を具体的に構成するのは無理だと思います。今の場合例えば(1/n)という元をl_2のある基底の線形結合で表しその基底の一部をl_1の基底の一部に上手く写せないかということを考えていました。この近辺の操作はおそらく完備性にはよらないと思われるのでもしかしたら全く別のBanach空間の例を作る方が得策なのかもしれませんが単に題意を満たすBanach空間の例を他に作るだけでも難しいのかなと思ったりもしてます。馴染みの深い関数空間などではこのような例はあるのでしょうか。