バナッハ空間ではない事の証明

質問

書き方がわからないので見にくい部分もあるかと思われますが、
宜しくお願い致します。

C:区間[0,1]上で定めた全ての連続関数の作る集合
∥x∥＝∫|x(t)|dt　(積分範囲は０～１)
このノルム空間はバナッハ空間ではないことを証明せよ。

解き方として、基本列が収束する先がCに含まれていないと考えればよいと思っているのですが、どのようにやって良いのかわかりません。

回答No.2

kup3kup3

こんばんは。
[0,1]ときて、ずっと　前に習った
「一様収束」の概念の説明で、「連続関数の列で点収束しても極限の関数は、連続にならない例」が
あったのでこれを思いだし、使えないかと考えました。考えている内に
分からなくなってきました。
次の『証明？』というか　説明を読んで下さい。

『証明？』
m,nは自然数とするとき、
[0,1]で定義された連続関数をC[0,1]と書くことにする。
　x，x^2,x^3,・・・x^n、・・・を考える。
一応、関数列として　f_n(x)=x^n と定義する。
するとf_n(0)=0、またf_n(1)=1・・・(*)
　つぎの[命題1]は明らかに成り立つ。
[命題1]
m≧n ならば、　[0,1]で　x^n≧x^m　により、
　　[0,1]で　|f_n(x)－f_m(x)|=f_n(x)－f_m(x) ・・・(**)

さて、任意のε>0にたいし、正の整数NをN>(2/ε)+1ととれば

(1)　m≧n>Nのとき、

||f_n-f_m||=int[0,1]|f_n(t)－f_m(t)|dt=int[0,1](t^n－t^m)dt
=1/(n+1)－1/(m+1)≦|1/(n+1)－1/(m+1)|<2/(N+1)<εとなり、
(2)　
　 n>m>Nのとき、
||f_n-f_m||=int[0,1]|f_n(t)－f_m(t)|dt=int[0,1](t^m－t^n)dt
=1/(m+1)－1/(n+1)=|1/(n+1)－1/(m+1)|<2/(N+1)<εとなる。
(3)　よって　m>N，n>Nのとき　||f_n-f_m||<ε　となり、
　　　{f_n(x)}は　C[0,1]のCauchy列である。

(ア)さて、　次の連続関数g(x)を考える。
　　　g(x)=0 (0≦ｘ≦1のとき)　つまり、g(x)∈C[0,1]
　このとき、n　→　∞なら
　||f_n-g||=int[0,1]|f_n(t)－g(t)|dt=1/(n+1)　→0
　　よって　このノルム|| ||の意味で
　　　　f_n　→g　　・・・(#)　となる。つまり、f_n　→　0
また、
（イ）　次の不連続関数h(x)を考える。
　　　　h(x)=0 (0≦ｘ<1のとき),
　　　　h(1)=1　　　　　　　　　　
　　h(x)はC[0,1]の元ではない。
　しかし、
　　|f_n(x)-h(x)|は　(Riemann)積分可能で、
　　[0,1]で　|f_n(x)-h(x)|=f_n(x)－h(x)　(なぜなら(*)による）　

　　h(x)はC[0,1]の元ではないが、
　◎　「n　→　∞なら
　　　||f_n-h||=int[0,1](f_n(t)－h(t))dt=1/(n+1)　→0　」
　ゆえに、このノルムで　「f_n　→　h」・・・(b)　となる、と考えられる。

(ウ)　その他に、例えば　[0,1]上の関数　k(x)を
　　[0,1]内の有限個の点で　　　k(x)=1
　｛
　　[0,1]のそれ以外の点のとき、k(x)=0　
　とすれば、|f_n(x)-h(x)|は　(Riemann)積分可能で、
　　　||f_n-h||=int[0,1](f_n(t)－k(t))dt　→0 となるだろう。

◎「ノルム空間はそのノルムにより、距離空間になる。
　距離空間はハウスドルフ空間であり、
　ハウスドルフ空間では、その性質から、収束した極限先はただ一つである。」と
　 いうことが成り立つから、
この問題では　

「少なくとも収束先が、(ア)の0∈C[0,1]　と(イ)のhの少なくとも２つはある
　ことになり、どちらに収束するかがいえない。　よって　矛盾である。」

ゆえに　C[0,1]で基本列で、収束しないものがあることになり、
　C[0,1]はこの積分を使用した　ノルム|| ||では、完備にならず、
　Banach空間にならないことが示された。
（証明？終わり）

それでは、これでよいのだろうか？
◎　疑問として、　次のことが浮かぶ。

(4)このノルム||　||をC[0,1]に属さない　h　に使用してよいのか？

(5)使用してよいなら、C[0,1]を含むもっと広い空間があって、そのもとで
　　議論しないといけないのではないか？

　ということです。

最初、習ったときのx^nら、のグラフのイメージが浮かんだときは。「これで行ける」
と思いましたが分からなくなってきました。他の回答者の方、よろしくお願いします。

回答No.1

uzumakipan

こんにちは。バナッハ空間ではないことを示すには、具体的にC[0,1]に収束しないコーシー列を作って示せばよいです。

[0,1]上の連続関数列で極限が連続関数とはならないような例を考えればよいと思います。