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数ベクトル空間とは？
- 数ベクトル空間とは、数の組をベクトルとして扱うベクトル空間のことです。
- 数ベクトル空間は、K上の数ベクトル空間Vとして定義され、Vは数の組（a1, ..., an）からなります。
- 数ベクトル空間は、ベクトル空間の部分空間としても扱われることがあります。
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>W1={(1,0,0)} >W2={(1,0,0),(1,0,0)} >W3={(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)} >がR^3ベクトル空間の部分空間である事を示して貰えない >でしょうか？ どれも部分空間ではないし、ベクトル空間でも ありません。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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〉(1,0,0)∈ W ⇒(1,0,0)+？ ∈ W 演算の結果がその集合の要素ではない 演算も定義できます。 例え何ひとつ演算が実行できなくても。 ベクトル空間では 和の結果はからなずそのべクトル空間のベクトル になる必要があります。 このような演算を 「中に定義している」とか 「閉じている」 とかいいます。
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞ベクトル空間では ＞和の結果はからなずそのべクトル空間のベクトル ＞になる必要があります。 手元にある参考書にも、その記載はあり理解できます。 ありがとうございます。 W1={(1,0,0)} W2={(1,0,0),(1,0,0)} W3={(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)} がR^3ベクトル空間の部分空間である事を示して貰えない でしょうか？ R^3については、 ∀x,y,z∈R^3⇒x+y+z=R^3 ∀x∈R^3⇒cx∈R^3｜c∈R と理解しています。 具体的に{（1,0,0）}、{（1,0,0）,（0,1,0）}を考えると ベクトル空間の定義を示せず困ります。 何度もすいませんが、ご回答よろしくお願い致します。 お手数掛けてすいません。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W >ですが、x,yはベクトルですよね？ >(1,0,0)}は1つだけのベクトルですが、和はどのように定義 >するのでしょうか？ なかなかするどいですね。 とりあえず R^3 で普通に使っている和とスカラー倍 を流用するということでよいのではないでしょうか？ (1,0,0) + (1,0,0) = (2, 0, 0) は {(1,0,0)}の要素ではない で十分かと。 そこの定義から始めるというのももちろん「あり」だと思いますが、 そうすると当然、R^3 側も同じ規則を適用する必要がありそうです。
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞(1,0,0) + (1,0,0) = (2, 0, 0) は {(1,0,0)} ＞の要素ではない これは、和の定義を満たすのでしょうか？ W ⊂ R^3 W={(1,0,0)} (1,0,0)∈ W ⇒(1,0,0)+？ ∈ W となって行き詰りました・・・ これは、そもそも?部で和に加えるベクトルがない・・・ W={(1,0,0),(1,0,0)} のときも同様で (1,0,0),(1,0,0)∈ W ⇒(1,0,0)+(1,0,0)∈ W としてのですが、(1,0,0)+(1,0,0)∈ Wは、和が閉じて いないので満たしません。 x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W どのように考えると、x,yを満たすでしょうか？ どこか初歩的な間違いをしているでしょうか？ 申し訳ありません。 ご回答よろしくお願い致します。 本当に何度もすいません・・・
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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〉W ⊂ R^3だけではダメですか？ ダメです。 例えば {(1,0,0)}⊂R^3 ですけど、{(1,0,0)} はベクトル空間では ありません。
補足
ご回答ありがとうございます。 ダメなのですね。 質問して良かった。 最後の質問をさせて下さい。 {(1,0,0)}⊂R^3 についてなんですが、 R^3はベクトル空間で、それの部分集合なだけと 言う事でしょうか？ (1,0,0)}⊂R^3 が部分空間であることを示すにはどのようにして示せば 良いのでしょうか？ ベクトル空間の定義を加えれば良い事はわかります。 具体的に数字が入いった場合どのように書けば良いかが 分かりません。 x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W ですが、x,yはベクトルですよね？ (1,0,0)}は1つだけのベクトルですが、和はどのように定義 するのでしょうか？ 以上、何度も本当に申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>{（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3 >{（a,0,0）|a∈R}∈R^3 >と言う表記は問題ないでしょうか？ 部分空間を表す記号って無いんですよね。 W ⊂ R^3 x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W x ∈ W, c ∈ R ⇒ cx ∈ W と書くしかないのかな。 # 0(零ベクトル) ∈ W 含めるのもよく見かけるけど なぜだろう？
補足
ご回答ありがとうございます。 おかげさまで、だいぶ理解できました。 {（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3 {（a,0,0）|a∈R}∈R^3 は正しくないですね。 R^3なので、必ず3次元ベクトル空間ですね。 前回の補足質問内容ですが、間違っている点はないでしょうか？ Wの定義は、 W ⊂ R^3 x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W x ∈ W, c ∈ R ⇒ cx ∈ W 理解しました。 W ⊂ R^3だけではダメですか？ わざわざベクトル空間の定義である、和とスカラー倍も書く 必要があるのでしょうか？ {（a,b,0）｜a,b∈R}∈W は2次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？ {（a,0,0）|a∈R}∈W は1次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？ 以上、本当に何度もすいませんがご回答よろしくお願い致します。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
＞なにか参考になるようなサイトなど教えて頂けないでしょうか？ 古めかしい本で申し訳ありませんが 線型代数入門 (基礎数学1) [単行本] 齋藤 正彦 (著) http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A61-%E9%BD%8B%E8%97%A4-%E6%AD%A3%E5%BD%A6/dp/4130620010/ref=sr_1_8?s=books&ie=UTF8&qid=1403686882&sr=1-8&keywords=%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E タイトルからして今風ではありませんが、ネットで非常によく参照される本です。
補足
何度もご回答本当にありがとうございます。 教えて頂いた参考書をアマゾンで早速注文しました。 ありがとうございます。 ウィキペディアを参照すると、 ベクトル空間R^3は、 {（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）} を基底に持つ。従ってdim(R^3)=3が成り立つとありました。 ベクトル空間 V の部分空間 W に対して dim(W) ≤ dim(V) が成り立つ。 という事で理解できました。 例えば、 {（a,b,0）｜a,b∈R} はR^3の部分空間で、次元が2という事ですね。 {（a,0,0）|a∈R} ははR^3の部分空間で、次元が1という事ですね。 {（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3 {（a,0,0）|a∈R}∈R^3 と言う表記は問題ないでしょうか？ また、 {（a,b,0）｜a,b∈R}∈R^3 は2次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？ {（a,0,0）|a∈R}∈R^3 は1次元ベクトル空間と言って問題ないでしょうか？ {(x, y, 0)|(x, y は任意)} は {（1,0,0）,（0,1,0）} と2つの基底を持つから2次元ですね。 {（1,0,0）,（0,1,0）}∈R^2 {（1,0,）,（0,1）}∈R^3 は成り立ちませんね。 基底を構成するベクトルの数はそのベクトル空間で常に一定 である。 これも、ベクトル空間R^3とその部分空間は基底が違えば 次元も違うと言う事で理解しました。 間違い等ありましたらご指摘お願いします。 以上、本当に何度もすいませんがご回答よろしくお願い致します。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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>あるベクトル空間全体が n個の一次独立な基底ベクトルの一次結合で >表すことができるなら、そのベクトル空間の次元は n なのです。 補足。例えば |(x, y, 0)|(x, y は任意)}のベクトル空間では 基底に (0, 0, 1) は含められません。なぜならその一次結合のひとつ (0, 0, 1) は {(x, y, 0)|x, y は任意}に含まれないからです。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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>R^3ベクトル空間で、 >x=(1,0,0),y=(0,2,0)として考えると、 >x,yベクトルで、xy平面の全てのベクトルを一次結合で表せる >事はわかります。 >ただ、これが2次元なのがわかりません。 それがベクトル空間の「次元」の定義なのです。 つまり、あるベクトル空間全体が n個の一次独立な基底ベクトルの一次結合で 表すことができるなら、そのベクトル空間の次元は n なのです。 つまり、次元とはベクトル空間の大きさというか広がりを表す 数値です。xy平面は厚みのない「面」なので２次元というわけ。 (x, 0, 0) (xは任意) というベクトル空間は α(1, 0, 0) (α: 一次結合の係数) ですべてが表せるので、次元(Dimension) = 1 です。 これらは皆 R^3 の部分空間です。 個々のベクトルの成分数は、数学ではベクトル空間の次元との 混同を嫌って「項数」と呼ぶことが多いですが、これも「次元」と 呼ぶことも少なくないので、これらを混同しないように注意することが大切です。 ３次元ベクトル→成分が３個のベクトル＝R^3 ２次元のベクトル空間→基底が２個のベクトル空間 と解釈するのが一般的かな。 それから、ランクは次元とよく似ていますが、線形写像(マトリックス)に対して使う言葉で、 ベクトル空間に対しては使えません。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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>例:(1,0,0)と(2,0,0) ぼけてました。 z=0 の平面上位置ベクトルの集合がなす部分空間の基底の例 (1,0,0)と(0,2,0)
補足
何度もご回答ありがとうございます。 ＞ベクトルの成分の数とベクトル空間の次元は-般に ＞異なります。 これはどう言う事でしょうか？ {（1,0,0）,（0,1,0）}∈R^2 {（1,0,）,（0,1）}∈R^3 なんて定義出来ませんよね？ 基底を構成するベクトルの数はそのベクトル空間で常に一定 である。 R^3における標準基底を例とすると、 {（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）}∈R^3 です。 だから、R^3は3次元、R^2は2次元だと理解しています。 R^3の部分空間の例として、 {(1,0,0),(0,2,0)}∈R^3 だという事は理解できます。 しかし、 {(1,0,0),(0,2,0)}の次元は2次元というのがわかりません。 rank=2だという事はわかるのですが、なぜ2次元なのか わかりません・・・ R^3ベクトル空間で、 x=(1,0,0),y=(0,2,0)として考えると、 x,yベクトルで、xy平面の全てのベクトルを一次結合で表せる 事はわかります。 ただ、これが2次元なのがわかりません。 せっかく教えて頂いているのに、理解が悪くて申し訳ありません。 私の次元の理解が足りません。手元にある参考書以外のものを 当たってみようと思います。 なにか参考になるようなサイトなど教えて頂けないでしょうか？ 以上、申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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>次元の定義なのですが、 >Vの基底を構成するベクトルの個数をVの次元と言う。 z=0として1次独立な基底ベクトルが何個作れるか 数えてみて下さい。それが次元です。 Vは基底のー次結合になります。 ベクトルの成分の数とベクトル空間の次元は-般に 異なります。 例:(1,0,0)と(2,0,0)
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
例えば (x, y, z) で z=0 とすると、次元=2 のベクトル空間になります。 これは、R^3 の部分空間です。 ビデオの先生のいいたかったのは これでしょう。
補足
何度もご回答本当にありがとうございます。 すいません。やっぱりどうも理解できないです・・・ 次元=2とは2次元の事でしょうか？ 次元の定義なのですが、 Vの基底を構成するベクトルの個数をVの次元と言う。 基底を構成するベクトルの個数はその空間に対して常に一定 だと理解しています。 R^3必要な基底は3だから3次元。 (1, 2,0) ∈ R^3 なのに、なぜ2次元ベクトル空間なんでしょうか？ どこが理解できていないでしょうか？ 何度も本当に申し訳ありません。 ご回答よろしくお願い致します。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 お礼が遅くなり申し訳ございません。 今までご回答頂いた内容をもう一度見直して整理させて 下さい。 分からない点が再度わからない点があれば質問させて下さい。 何度もご回答本当にありがとうございました。