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ノルム空間
<x> = x+M = {x+m| m∈M} ||<x>||_Q =inf[m∈M]||x+m|| Xをノルム空間、Mをその閉部分空間とするとき、 自然な写像 π；X → X/M を π(x)=<x> で定義すると πが連続になることを示す。 という問題で、連続を示すには ||xn-x||_Q → ０ ⇒ ||π(xn)-π(x)||_Q → ０ を示せばいいのでしょうか？
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こんばんは。 ＞||π(xn)-π(x)||_Q = ||<xn>-<x>||_Q = ||xn+m -x-m||_Q ＞= ||xn-x||_Q ＞||xn-x||→０ なので、||xn-x||_Q →０ 違います。Ｘ/Ｍでの演算がわかっていないですね。 Ｘ/Ｍの2つの元 <x>＝ｘ＋Ｍ、<ｙ>＝ｙ＋Ｍ に対して <ｘ>＋<ｙ>＝(ｘ＋Ｍ）＋（ｙ＋Ｍ）＝ｘ＋ｙ＋Ｍ です。このことをきちんと理解してください。 さて、このことをふまえて ||π(xn)-π(x)||_Q = ||<xn>-<x>||_Q = ||xn－ｘ＋Ｍ||_Q = inf[m∈M]||xn－x+m|| となります。ですから ||π(xn)-π(x)||_Q ＝ inf[m∈M]||xn－x＋m|| ≦ ||xn-x||→０ よりπが連続となる。
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- uzumakipan
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こんばんは。 ＞という問題で、連続を示すには ＞||xn-x||_Q → ０ ⇒ ||π(xn)-π(x)||_Q → ０ ＞を示せばいいのでしょうか？ 違います。 ||xn-x|| → ０ ⇒ ||π(xn)-π(x)||_Q → ０ が正しいですね。
お礼
↑えっと、更にもう一度考えてみました。（あまり変わってないかも？） ||π(xn)-π(x)||_Q = ||<xn>-<x>||_Q = ||xn+m -x-m||_Q = ||xn-x||_Q ||xn-x||→０ なので、||xn-x||_Q →０ てのでどうでしょう？
補足
あ、そうか、Xに定義されてる距離が ||x|| だからですよね。 うーん、で、 ||πx(n) -π(xn)||_Q ≦ inf[m∈M]||xn+x+2m|| みたいになるのでしょうか。 またまた見当外れだったらすみません
お礼
なるほど～。 よっく分かりました。 ありがとうございます。