反射的Banach空間の稠密な部分空間

質問

関数解析の質問です。

Xを反射的Banach空間とします。反射的というのはXの第2共役空間X^(**)[Xの共役空間X^*の共役空間]が元のXと等長同型になるような空間のこと。このときXには稠密な部分空間は存在するのでしょうか？例をあげていただけると嬉しいです。

もともと「ノルム空間Xに対して、X^*が反射的ならXも反射的になる」という問題が出発点だったのですが、もし上の例があればこの反例を与えるように思うのです。XにはBanachという条件が必要なのではないか、と。

回答No.1

seven_triton · ベストアンサー

ΩをR^nの可測集合とするとき，1<p<∞に対しL^p(Ω)は反射的Banach空間になります。C_0(Ω)はその稠密な部分空間になります。

これがなぜその問題の反例になるのですか？（逆に質問・・・）

お礼

お礼はこちらに書くのでした。どうもありがとうございます。

補足

了解しました、ありがとうございます。同様に数列空間l^pの部分空間(有限個をのぞいて0)でも稠密な部分空間になるのでした。

反例といっていたのは、X⊂Yがあって、Xが稠密にYに入っているならX^*=Y^*になるからです(証明はそれほど難しくないです)。ここでYが反射的ならY^*も反射的になるので、X^*も反射的になります。よってX^*=X^***です。ところがX^**=Y^**=Y(∵Yは反射的)だからX≠X^**となってXは反射的ではありません。

最初にいっていた問題はだから、「Xがバナッハ空間ならXが反射的であることと、X^*が反射的であることが同値」という問題なら正しいということになりました。