バナッハ-タルスキーの定理って何？

質問

しつこくてすみません。mori0309です。
バナッハ-タルスキーの定理って何ですか？
自分で調べるべきなんでしょうけど、他の方たちにも
この魅惑の世界を知っていただきたいです。
またまたstomachmanさんお願いします。
（急ぎでないです）
もちろん他の方でもＯＫです。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

バナッハ-タルスキーの定理。これについては、そのものずばり「(砂田利一)バナッハ・タルスキーのパラドックス」という秀逸な一般向け解説書があります。この定理のキモである「選択公理」や「無限」「存在証明」を丁寧に解説してあります。さて....

●「３次元の実数空間（つまり(x,y,z): x,y,zは実数）の中で、半径１の球体（中身が詰まっている）を考えます。この球体を（ある内緒の方法で）有限個の部分集合に分割します。（つまり重複も余りもないように分けます。）そして、これらの部分集合それぞれの形は全く変えずに、ただ（ある内緒の方法で）向きを変え、並べ替えて上手に組み合わせると、半径１の球体（中身が詰まっている）を２個作れます。」
　これがバナッハ-タルスキーの定理です。
　金でできた球体を２倍に増やす方法を早く知りたい、と思うのはあなただけではありません。実は「ある内緒の方法」というのは「存在することは証明できるが、やり方は分からない。」不可知なんです。

●金の球体は、たかだか有限個の金の原子の集まりです。実数の個数どころか、自然数の個数どころか、たかが有限個に過ぎない。数学的な球体とは全然別物です。だから仮に「ある内緒の方法」が分かったとしても、金の球には使えませんね。

●また、体積という概念も実はええかげんなものです。実際、金の原子の並んでいる間隔を変えるだけで球は大きくなる。加熱してやればいいんですね。ましてや、表面積なんてものは（原子や素粒子のサイズまで考えれば）幻想としか言いようがない。

●３次元の実数空間や、幾何学図形は、我々の住む空間や物の形のモデルとしてとても役に立ちますが、適用出来る限度というものがあるようだ。そういうことです。

　なお、バナッハ-タルスキーの定理を「球体を有限個の部分に切り分けて並べ替えると....」と表現することがありますが、たとえば数直線を「小数点以下1桁目が1のもの」と「それ以外」に分けると、（集合としては２つに分けたんですが）手に持てるような部品２個にはならず、ばらばらに切れた無限個の「部分」になってしまいますよね。「バナッハ-タルスキーの定理において、有限個の、連結した部分集合に分けられる」という証明があるんでしょうか？これは知りません。（多分無理だと思います。）

おおっと、おあとが宜しいようで...

お礼

さっぱり理解できません。（あたりまえですね）でも、面白くてしょうがないです。
（例によってひとり言です）
本当に球体の体積が２倍になるのですか？　どこかにオチのあるパラドックスなのですか？
「バラして組み合わせる」というのがトリックなのかな？　無限級数なんかは順序を入れ替えると
結果がぜんぜん違うことがあるから。（やっぱりちゃんと本を読みます）
ありがとうございました。

補足

stomachmanさん、ほんとに、ほんとに、すみませんでした。そして、ありがとうございました。無理なお願いをきいていただいて。
自分なりに理解できたら、またお礼の投稿をさせていただきます。

回答No.2

stomachman

選択公理を認めた以上は、紛れもない定理です。オチがないんですよ。
これは幾らなんでも直感に合わない。パラドックスじゃないの、というんで、選択公理に制限を加えてみたり、色々な試みがなされています。しかし現代では、選択公理を平気で使う、というのが主流のように思えます。
同様に「連続体仮説」も、肯定も否定もできない、つまり公理として加えるかどうかで数学のパワーが変わる、という種類の命題（独立な公理）であることが知られています。

おっとと：
連続体仮説=「「可算無限個(自然数の個数=濃度Aと言う）の要素を持つ集合」のあらゆる部分集合を要素とする集合」の要素の数は、非可算無限個（実数の個数=濃度Cという）と一致する。」

お礼

ありがとうございました。連続体仮説も「無限」に興味がかきたてられます。