ベクトルの証明

質問

直線Ll:ax+by=cについて次のことを示せ

・lはn(→)=(a,b)と垂直である
・点P(x0,y0)とlとの距離は√(a^2+b^2)分の|ax0+by0-c|で与えれる

下の問題は、距離がどのように求められるものなのかがはっきりわからず困っています。よろしくお願いします！

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

akatukinoshoujyoさん、こんにちは。直線Ll:ax+by=cについて
＞・lはn(→)=(a,b)と垂直である

まず、分かりやすくするために、ｌ上の点Ａ（０、ｃ/ｂ）と点Ｂ（ｂ、ｃ/ｂ－a）
を考えてみましょう。
点Ａの座標はｘに０を代入したら、ax+by=cより、ｙ＝ｃ/ｂと出ますね。
点Ｂの座標も、ｘがｂのときのｙの値を求めたらｃ/ｂ　－aと求まります。

さて、ここでベクトルＡＢを考えます。
ＡＢ＝(b-0,c/b-a-c/b)=(b,-a)ですね。
ここで、直線ｌ上の任意のベクトルは、ベクトルＡＢの実数倍になりますから
任意のベクトルはｔＡＢとあらわせます。
ベクトルｔＡＢとベクトルｎの内積をとれば、
ｔＡＢ・ｎ＝t(b,-a)・(a,b)=tab-tab=0
となって、ベクトルｎと直線が垂直であることが分かります。

＞・点P(x0,y0)とlとの距離は√(a^2+b^2)分の|ax0+by0-c|で与えれる

今、点Ｐから直線ｌに下ろした垂線の足を点Ｑ（ｘ１、ｙ１）とおきます。
ベクトルＰＱは直線に垂直なので、上の証明より、ベクトルｎの実数倍で表せます。
ＰＱ＝ｓｎ（ｓ：実数）とおけます。
このとき、
ＰＱ＝(x1-x0,y1-y0)
sn=s(a,b)=(sa,sb)ですから
x1-x0=sa
y1-y0=sb　・・・・・・・・（★）

さて、ここで直線ｌと点Ｐとの距離は、まさに線分ＰＱの長さになりますから
｜ＰＱ｜＝√{(x1-x0)^2+(y1-y0)^2}
これに（★）を代入すると、
｜ＰＱ｜＝|s|√(a^2+b^2) ・・・・・・（☆）

また（★）より、
x1=x0+sa
y1=y0+sb
点（ｘ１、ｙ１）は直線上にあるので、直線の方程式を満たす。
これを直線の方程式ax+by=cに代入すれば
a(x0+sa)+b(y0+sb)=c
ax0+by0+s(a^2+b^2)=c
s(a^2+b^2)=c-ax0-by0
a^2+b^2>0ですから、
|s|=|ax0+by0-c|/(a^2+b^2)・・・・・・（★★）

そこで、（☆）に（★★）を代入すると
求める距離は
｜ＰＱ｜＝|s|√(a^2+b^2)=|ax0+by0-c|÷√(a^2+b^2)
だということが証明できました。

ご参考になればうれしいです。

回答No.3

oshiete_goo

＞・lはn(→)=(a,b)と垂直である
[証明]
直線l:ax+by=c・・・(1)
(1)上の定点Po(x0,y0)と,動点P(x,y)をとり, →n＝(a,b)[≠→0] とすると
ax0+by0=c・・・(2)
が成り立ち, (1)－(2)より
a(x-x0)+b(y-y0)＝0
⇔内積→n・→PoP＝0
これは P≠Poのとき常に →n⊥→PoP であることを表し, 直線lはベクトル→n＝(a,b)と垂直である.

回答No.2

Mell-Lily

(1)は、直線lと平行なベクトル→rを求めて、
　→n・→r=0
を示せばいいでしょう。(2)は、(1)の結果を使って、直線lと、点Pを通り直線lに垂直な直線mの交点Qを求めれば、PQが直線lと点Pの距離になります。

回答No.1

eatern27

lの方向ベクトルはu(→)=(b、-a)
n(→)・u(→)=(a、b)・(b、-a)＝0
よって、lとn(→)は垂直。

2つ目は下記で。

参考URL：

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=423800