ベクトルの問題です （海上保安大）

質問

２直線
Ｌ1: (x+1)/ 2 = (y-1) / (a-2) = Z
Ｌ2:(x-4)/3 = (y+2)/-2 = (z-3) / 2
が交わるように定数aを定めよ
（２）（１）の２直線Ｌ1,Ｌ2を含む平面の方程式を求めよ。

⇔
（１）はＬ１の式に対して＝ｔ、Ｌ２の式に対して＝ｓとおいて
ｘ＝という形を、Ｌ１、Ｌ２に互いに作り、
それを整理したら、aが上手にもとまりました。
答えはa=1。

（２）が解りませんでした。
（２）は解答によると、平面の方程式をまずax+by+cz+d=0とおくと
Ｌ１上の点（－１，１，０）　Ｌ２上の点（４、－２．３）
Ｌ１とＬ２との交点（１．０，１）は平面上の点であるから、
-a+b+d=0 ,4a=2b+3c+d=0 , a+c+d=0

これより、 c=-4, b=-d, a=0
よって求める平面は y+z-1=0となる。

（２）なんですが、ものすごい基本的な事だと思うのですが、
Ｌ１とＬ２との交点（１．０、１）はどのようにしたら求まったのでしょうか？？？＞＿＜　他はすべて理解したのですが、、この部分だけできませんでした。。
どなたかおしえてください！！

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

nana070707様　先日の問題よりやり易いと思います。

貴殿の解答にそって記述して見ます。
＞Ｌ１の式に対して＝ｔ
＞Ｌ２の式に対して＝ｓ
　　これは良いです（というよりＢＥＳＴ）

＞a=1
　　これが出ていると言うことは、単に何かを見落としているだけです。よく自分の解答を探してください。
a=1、が出ていると言うことは
(1)t=1、(2)s=-1、もでているはずです。

また、(3)x-4=3s,　y+2=-2s,　z-3=2s
も　　　(4)x+1=2t, y-1=-t, z=t
出ているはずです,とすれば
(1)t=1を(4)に代入しても、(2)s=-1を(3)に代入してもも
交点(1,0,1)はでるはずで、不注意ミスです。

ーーーーーー
老婆心ながら（男ですけど）
平面の方程式出す時に連立方程式を使っていますが、三元の連立方程式は時間がかかる場合があります。避けれる時は、避けたほうが良さそうです。

この問題では避ける方が普通かとも・・・つまり
Ｌ1: (x+1)/ 2 = (y-1) /(-1) = Z/1
Ｌ2:(x-4)/3 = (y+2)/(-2 )= (z-3) / 2
Ｌ1の方向ベクトルルｄ＝（２、－１、１）
Ｌ2の方向ベクトルルｄ’＝（３、－２、２）
平面の法線ベクトルルｎ＝（ｐ、ｑ、ｒ）とでもおいて

２ｐ－ｑ＋ｒ＝０
３ｐ－２ｑ＋２ｒ＝０　　より　　ｎ＝（０，１、１）となり
求める答えは　０（ｘ－１）＋１（ｙ－０）＋１（ｚ－１）＝０
ーーーー

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！！！！！

回答No.3

ht1914

Ｌ１とＬ２の交点（１，０，１）がどの様にして求まったかが分からないということですね。
私にはどうして分からないかが理解できません。
Ｌ１で　＝ｔ　とおき、Ｌ２で　＝ｓとおいてａを求めたということですね。
なぜそうすればａが求められたのでしょう。
交わるのですから交点の座標はどちらの式も満たすということで連立させることが出来たからではないでしょうか。
一般的な座標（ｘ、ｙ、ｚ）だと分からないのであれば（α、β、γ）でいいです。
交点の座標を（α、β、γ）とします。このα、β、γはＬ１，Ｌ２を満たします。
Ｌ１から　α＝２ｔ－１、β＝（ａ－２）ｔ＋１、γ＝ｔ
Ｌ２から　α＝３ｓ＋４、β＝－２ｓ－２、γ＝２ｓ＋３　です。
２ｔ－１＝３ｓ＋１、ｔ＝２ｓ＋３を連立させて解けばｔ＝１，ｓ＝－１となります。（ａ－２）ｔ＋１＝－２ｓ－２に代入してａ＝１となります。このｔ、ｓ、を代入すればα、β、γは求まるでしょう。別に式を立てる必要はありません。

ａを決めるところでどの様な考えを用いられたのですか。

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！　例題を解いた後、練習問題に入ったので、理解がまだ足りない状態だったので、こういうことが起こってます＞＿＜　たぶん、どうしてこういうことになるんだろうと思ったのではないでしょうか？？？＞＿＜　数学はまだ全然真っ暗な闇の中をひたすら歩いてるかんじです＞＿＜　なので、許してください＞＿＜！！返事書いていただいてありがとうございました！！！

回答No.2

killer_7

連立方程式を解けばよいだけですよ．

L1: (x+1)/2 = (y-1)/(1-2) = z
L2: (x-4)/3 = (y+2)/(-2) = (z-3)/2
の共有点 (X, Y, Z) とは，
(X+1)/2 = (Y-1)/(1-2) = Z　・・・　(1)
(X-4)/3 = (Y+2)/(-2) = (Z-3)/2　・・・　(2)
をともに満たす点である．このとき，
「(X+1)/2 = (Y-1)/(1-2)，かつ，
　(X-4)/3 = (Y+2)/(-2)」
を解くと，(X, Y) = (1, 0)．
(X, Y) = (1, 0)のとき，(1)より Z = 1．これは，(2)も満たす．

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！！！！！

回答No.1

mazimekko3

Ｌ１の式に対して＝ｔとしてｘ＝の形の変形
Ｌ２の式に代入するとｔが求まる
そのｔをＬ１の式に代入すると
Ｌ１とＬ２の連立方程式を解いたことになり
交点が求まります。

片方の式のみを媒介変数に変更することがミソですね。

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！！！！！