ベクトルでもこの証明をやったのですが・・・

質問

点（ｘ１，ｙ１）と直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０との距離ｄは、
次の式で与えられることを証明せよ。

　　 ｜ａｘ１＋ｂｙ１＋ｃ｜
ｄ＝────────────
　　　√(ａ＾２＋ｂ＾２)

ベクトルの範囲での証明でもあった気がするのですが・・・。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

twinkle_lightさん、こんにちは。
以前、私が同じ問題に解答したときの答えをコピーしておきますね。

直線Ll:ax+by=cについて
＞・lはn(→)=(a,b)と垂直である ←これをまず照明しますね。

まず、分かりやすくするために、ｌ上の点Ａ（０、ｃ/ｂ）と点Ｂ（ｂ、ｃ/ｂ－a）
を考えてみましょう。
点Ａの座標はｘに０を代入したら、ax+by=cより、ｙ＝ｃ/ｂと出ますね。
点Ｂの座標も、ｘがｂのときのｙの値を求めたらｃ/ｂ　－aと求まります。

さて、ここでベクトルＡＢを考えます。
ＡＢ＝(b-0,c/b-a-c/b)=(b,-a)ですね。
ここで、直線ｌ上の任意のベクトルは、ベクトルＡＢの実数倍になりますから
任意のベクトルはｔＡＢとあらわせます。
ベクトルｔＡＢとベクトルｎの内積をとれば、
ｔＡＢ・ｎ＝t(b,-a)・(a,b)=tab-tab=0
となって、ベクトルｎと直線が垂直であることが分かります。

＞・点P(x0,y0)とlとの距離は√(a^2+b^2)分の|ax0+by0-c|で与えれる

（ここでは、x0,y0になっていますが、x1,y1だと考えてくださいね）

今、点Ｐから直線ｌに下ろした垂線の足を点Ｑ（ｘ１、ｙ１）とおきます。
ベクトルＰＱは直線に垂直なので、上の証明より、ベクトルｎの実数倍で表せます。
ＰＱ＝ｓｎ（ｓ：実数）とおけます。
このとき、
ＰＱ＝(x1-x0,y1-y0)
sn=s(a,b)=(sa,sb)ですから
x1-x0=sa
y1-y0=sb　・・・・・・・・（★）

さて、ここで直線ｌと点Ｐとの距離は、まさに線分ＰＱの長さになりますから
｜ＰＱ｜＝√{(x1-x0)^2+(y1-y0)^2}
これに（★）を代入すると、
｜ＰＱ｜＝|s|√(a^2+b^2) ・・・・・・（☆）

また（★）より、
x1=x0+sa
y1=y0+sb
点（ｘ１、ｙ１）は直線上にあるので、直線の方程式を満たす。
これを直線の方程式ax+by=cに代入すれば
a(x0+sa)+b(y0+sb)=c
ax0+by0+s(a^2+b^2)=c
s(a^2+b^2)=c-ax0-by0
a^2+b^2>0ですから、
|s|=|ax0+by0-c|/(a^2+b^2)・・・・・・（★★）

そこで、（☆）に（★★）を代入すると
求める距離は
｜ＰＱ｜＝|s|√(a^2+b^2)=|ax0+by0-c|÷√(a^2+b^2)
だということが証明できました

ちょっと煩雑だったでしょうか。がんばってくださいね！

回答No.2

jmh

計算してみました。
--
平行移動して、原点Ｏ（０，０）と直線Ｘ：ａｘ＋ｂｙ＋Ｃ＝０との
距離を求める（Ｃ＝ａｘ１＋ｂｙ１＋ｃ）。
Ｘに垂直で原点（０，０）を通る直線をＹ、ＸとＹの交点をＢする。
Ｂは（Ｘに垂直な）Ｙ上の点なので＝（ａｔ，ｂｔ）と書ける。
ＢはＸ上の点でもあるので、ａ（ａｔ）＋ｂ（ｂｔ）＋Ｃ＝０
これを解いて、ｔ＝－Ｃ／（ａ＾２＋ｂ＾２）
だから、ｄ＝｜－Ｃ／（ａ＾２＋ｂ＾２）｜√（ａ＾２＋ｂ＾２）。

回答No.1

denden_kei

愚直なやり方ですが..。

直線X:ax+by+c=0と直交する直線の傾きはb/aですよね。
1.この傾きを持ち、点A(x1,y1)を通る直線Yの式を求めます。
2.直線XとYの交点Bを求めます。
3.点AとBの距離を計算します。

これでdが出る、はずですが...(すみません。実際には計算してません)。