ベクトルの問題です ６７

質問

次の直線の方程式を媒介変数ｔを用いてあらわせ。

（１）ｐ０（４．３）をとおり、方向べくとる（－１，３）

（２）P1(-4,-1) P2(6.4)

（３）点（－１，３）を通り、直線ｙ＝２ｘ－４に垂直。

⇔（１）は　(x,y)=(4.3)t(-1,3)となりました。
x=x1+tl y=y1+tm の公式よりそのまま書きました。

（２）はP1P2 =t(l.m)と学んだので、
p2-p1をして、ｔ（１０．５）より
ｘ＝－４＋１０ｔ、ｙ＝－１＋５ｔとしました。

しかしこの問題のこたえは
ｘ＝－４＋２ｔ、ｙ＝－１＋ｔとなってました。

ｔ（１０．５）と求まった時に、５ｔ（２，１）として、２．１だけ抜き出したのでしょうか？またそうしても問題ないのでしょうか？？理由はどうしてですか？？

（３）
点（－１，３）を通るというので
ｘ＝－１＋。。。　ｙ＝３+。。。と式がなるのは解るのですが、どのようにしたらよいのかわかりませんでした。理由は、ｙ＝２ｘ－４という形ですのでわかりませんでした。

ｙ＝２ｘ－４をどのようにしたら、媒介変数表示に変えられるのでしょうか？
今までは、P１、P2と座標が決められていて、
P２－P1で式が求まって、ｔ（ｌ。ｍ）が求まり
この式と、例えば今の問題（３）のー１，３を通る式をつくるとしたら、
ｘ＝－１＋ｌ　ｙ＝３＋ｍと成っていたのですが
今回はｙ＝２ｘ－４という式なのでわかりませんでした。

また、垂直というところの意味は多分
ｙ＝２ｘ－４をもし変形できたら、
たぶんa・b=0というベクトルの垂直関係を使うと考えましたけど。。アイディアが浮かばず、垂直関係まで持っていく事ができませんでした。
だれか教えてください、宜しくお願いします＞＿＜

回答No.2

debut · ベストアンサー

2.
方向ベクトルが(10,5)というのは、原点から右に10進みそこから上に5
上がるといういわゆる傾きが5/10になるということを示しています。
つまり、方向ベクトルというのは直線の傾きであるわけですよね。
5/10は約分して1/2にしたように、方向ベクトルも簡単にして(公約数で
割って)表しても問題はありません。

3.
点(x1,y1)を通り、方向ベクトル(l,m)の直線の媒介変数表示は、
x=x1+lt,y=y1+mt ですが、ここからtを消去(xの式をt=～に変形して代入)
すると、y-y1=(m/l)(x-x1) となります。
これを利用すればy=2x-4も媒介変数表示はできますが、今回は方向ベク
トルがわかればよいので、y=2x-4の傾き2を2/1とみて、方向ベクトルは
(1,2)と読み取ればいいです。
垂直条件の内積＝０を利用するのであれば、求める方向ベクトルを(a,b)
とすれば、(1,2)との内積＝０から、a+2b=0→a=-2bで、(-2b,b)=b(-2,1)
として、結局(-2,1)であるというふうに求められます。

が、しかし、この計算よりも、数Iでやった直線の垂直条件、「傾きを
かけたものが－１になる」を利用して、y=2x-4に垂直だから、直ちに
傾きmは2m=-1でm=-1/2と求めた方がよいと思います。

お礼

返事遅くなってごめんなさい！！
この問題とけました！！debutさんの解答はいつもわかりやすくて、参考になってます！！！
本当にどうもありがとうございました！！！！！

回答No.1

gotn2

方向ベクトル(l.m)は「直線の傾き」も表しています。

（２）P1(-4,-1) P2(6.4)で直線の傾きは１／２
これは、ｘが２増え、ｙが１増えるということで
方向ベクトル(2.1)です。

（３）ｙ＝２ｘ－４に垂直な直線の傾きは何でしょうか。
同じように方向ベクトルの成分がわかるはずです。

まちがっていたら、指摘してください。

お礼

返事書いていただいてどうもありがとうございました！！
この問題、理解する事ができました！！
ベクトルは本当に難しいですけど、頑張ります！！
ありがとうございました！！！！！！！