Ｏを原点とする座標平面上において

質問

2定点F(c,0)、F'(-c,0)からの距離の和が2a(ただしa＞c＞0)であるような点Pの軌跡をEとする
このときEの標準形はx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1である
このとき、Pでの接線lに垂直な直線nが∠FPF'を2等分することを示せ

解き方を教えてください

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

まず, a, b, c の間に関係があることはいいですね? そして, P を楕円E 上の点としたことから p と q の間にも関係がありますね. これらのことから b と q を消去することができ, ごりごり計算すると FT:F'T = FP:F'P であることが示せます. 比の形で示すより FT・F'P = F'T・FP の方が簡単かな? あるいは 2乗するか.

「加法定理」の方は, 傾き m1, m2 の直線が x軸の正の方向となす角を θ1, θ2 とすると s = θ1 - θ2 です (厳密にいうともうちょっといろいろ考えないといかんが). ここで tan s に対して加法定理を使うと tan s を tan θ1, tan θ2 で書くことができます. さて, tan θ1, tan θ2 はそれぞれいくつですか?

お礼

ようやく分かりました！
ありがとうございました！

回答No.4

Tacosan

△ABC において ∠A の 2等分線と辺BC との交点を D としたとき, 4つの長さ AB, AC, DB, DC の間にどのような関係が成り立ちますか?

ちなみに #3 の tan s は「加法定理」そのもの.

補足

AB:AC=DB:DCです
つまり法線nとx軸との交点をTとすればPF':PF=F'T:FTを示せば良いということですね
というわけでPを(p,q)としたときT(p-(b^2/a^2),0)と求めたのですが、
F'T:FT=p-(b^2/a^2)+c:p-(b^2/a^2)-cが
PF':PF=√{(p+c)^2+q^2}:√{(p-c)^2+q^2}になるよう変形する方法ありますか？
あと、加法定理そのものってどういうことでしょうか？tanの加法定理はtanがsin/cosであることを利用して作ったのですが

回答No.3

spring135

>Ｏを原点とする座標平面上において
2定点F(c,0)、F'(-c,0)からの距離の和が2a(ただしa＞c＞0)であるような点Pの軌跡をEとする
このときEの標準形はx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1である

楕円の方程式の出発点です。教科書に必ず書いてあります。それが見つからないのなら数学はやめたほうがよいでしょう。

ここで

b^2=a^2-c^2 (1)

を確認してください。

＞このとき、Pでの接線lに垂直な直線nが∠FPF'を2等分することを示せ

教科書の練習問題または数学の問題集[１冊ぐらい持っているでしょう]に大抵出ています。

ともあれこのような問題は実力がそのまま出ます。この問題を１０回ぐらい繰り返してやるだけで実力がグ－ンと上がります。そのためにここでやっておきましょう。

P(p,q)とするとPにおける楕円の接線は

px/a^2+qy/b^2=1

これも必ず教科書に出ています。

傾き=-b^2p/qa^2はわかりますね。

よってｎの傾きn0＝qa^2/pb^2もわかりますか。

PFの傾きm=q/(p-c)

PF'の傾きm'=q/(p+c)

傾きm1の直線と傾きm2の直線のなす角sのtansは

tans=(m1-m2)/(1+m1m2)

も教科書に出ています。大きな核から小さな核を引くようにする必要があります。絵をかいて決めてください。

tan∠FPｎ=(m-n0)/(1+mn0)

これに先ほどの傾きを入れ手計算することになります。初心者には大変ですが実力アップにはもってこいです。

tan∠FPｎ=q[p(b^2-a^2)+a^2c]/[p^2b^2+a^2q^2-pcb^2]

が出れば大したものです。

点Pが楕円上にあることから

p^2/a^2+q^2/b^2=1

よって

p^2b^2+q^2a^2=a^2b^2

および（1）を用いて

tan∠FPｎ=qc/b^2

が出ます。

同様に

tan∠F’Pｎ=qc/b^2

が出ます。必ず自分で寄ってみること。

よって

∠FPｎ＝∠F’Pｎ

QED

補足

傾きm1の直線と傾きm2の直線のなす角sのtansは
tans=(m1-m2)/(1+m1m2)

今教科書を確認しましたが、載っていませんでした
加法定理のような形になってますが、なぜこうなるのか良ければ教えていただけませんか？

回答No.2

USB99

F1（-c、0）、F2（c,0)とし、原点をOとする。

原点を中心として半径aの円を描き、任意の円上の任意の点をH1とする。
F1からH1に直線を引き、その直線上にF1H1＝H1Qとなるように点Qをおく。

H1を通って、F1H1に垂直な線をひき、直線F2Qとの交点をPとすると
PF1＋PF2 ＝PQ＋PF2＝F2Q＝２・OH＝2aとなり、Pは楕円となる。

H1Pは同時に楕円の接線となる。

Pから垂直な線をかくと、それはQF1と平行であるから、
その線は∠F1 P F2 を二等分する。

補足

PF1=PQとなるのは何故ですか？
また、F2Q＝２・OHとなるのは何故ですか？
また、H1Pと垂直な直線がQF1と平行だとその線が∠F1 P F2 を二等分するのは何故ですか？

回答No.1

Tacosan

質問文に書いてあることをほとんどそのまま実行すればいい. P の座標を適当に変数で置き, 「Pでの接線lに垂直な直線n」が「∠FPF'を2等分する」ことをいうだけ. もちろん a, b, c の関係が分からないと全く手が出ないことは分かるよね?

「∠FPF'を2等分する」をどう示すかは考えてみてほしい.

補足

考えてみましたが法線nの方程式が求めることが出来ても∠FPF'を2等分することをいう方法がわかりません
教えていただけませんか