勾配ベクトルについて

質問

勾配ベクトルと方向微分についての問題です。(２変数の場合)

平面状の点(ｘ0、ｙ0)と直線ａｘ＋ｂｙ＝ｃの距離ｄは
ｄ＝｜ａｘ0＋ｂｙ0－ｃ｜／√ａ^2＋ｂ^2　　・・・★　
となる事を示す。

直線ａｘ＋ｂｙ＝ｃを平面ｚ＝ａｘ+ｂｙの等高線(高さｃ)と考えるとき、
(ｘ0、ｙ0)を通り、ａｘ＋ｂｙ＝ｃに平行な直線は　ａｘ＋ｂｙ＝(1)　であるので、2つの等高線　ａｘ＋ｂｙ＝ｃと　ａｘ＋ｂｙ＝(1)との高さの差(正の値)は(2)となる。
2変数関数　ａｘ＋ｂｙの勾配ベクトルの大きさ(3)は(4)を表すから、点(ｘ0、ｙ0)と直線ａｘ＋ｂｙ＝ｃの距離をｄとすれば、
(3)＝(6)／(5)となる。

これにより★が成り立つ。

(4)には言葉が、それ以外は数式が入るようです。
どなたか、よろしくお願いします!!

回答No.2

oshiete_goo

xy平面が地図と思えば, z＝f(x,y)＝ax+by の値によって高さが決まっていて等高線が引かれていると見なせるので,
直線ax+by=(定数) の法線ベクトルの1つとしてベクトル→n＝(a,b)が取れて,
文脈だと, これをどうやら「勾配ベクトル」と定義しているようです. [大きさ|→n|＝√(a^2＋b^2)]

『勾配』＝傾き＝「水平距離で単位長さ進んだ時の, 高さの増加量(変化量)」で,
(端的にいえば,水平距離で1m進むと10cm高くなるといった感じでしょう.)
一般に, ベクトル→p＝(Δx,Δy)だけ進むと, 内積(→n)・(→p)＝aΔx＋bΔy だけ高さが変化する(正,0,負どれも取り得る)と言えます.

質問者さんの(1),(2),(3)は良さそうです.
ただ, (3)は安直に, 勾配ベクトル→n＝(a,b)の大きさ(|→n|＝)√(a^2＋b^2) でいいはずです.
問題の(4)は「単位距離進んだ時の高さの変化量の大きさ」（「増加量の大きさ」でも良い）などと書くのでしょうか．他にも表現はあるかも．
すると，
(高さの差(≧０)）＝(勾配ベクトルの向きに有効に進んだ距離[変位の勾配ベクトルに平行な成分の大きさ])・(勾配の大きさ)　[一般の変位だと内積aΔx＋bΔyとなることは先述]より
｜ａｘ0＋ｂｙ0－ｃ｜＝ｄ・√(a^2＋b^2)　・・・(＊)
から
ｄ＝｜ａｘ0＋ｂｙ0－ｃ｜／√(a^2＋b^2)
の方が自然な気もしますが，出題者の意図は勾配の定義より
『勾配』＝(高さの増加量)／(水平距離)
から
√(a^2＋b^2)＝｜ａｘ0＋ｂｙ0－ｃ｜／ｄ
と言いたいようで，
結局，(5)＝ｄ，(6)＝｜ａｘ0＋ｂｙ0－ｃ｜　なのでしょう．

お礼

ありがとうございます。
最後のほうがよく分からなかったのですが、理解できました。
細かい説明ありがとうございました。

回答No.1

jusa

宿題だかレポートだか知りませんが、
問題の丸投げはやめて下さい。迷惑です。

まずあなたが投稿前にどれだけのことを考えたのか、
正解不正解は別にして、あなたなりの答えを示して下さい。

補足

すみません、不十分でした。
私が考えたところまで書いてみたいと思います。
間違えや、もっと良い方法があったら補足してください。

まずａｘ＋ｂｙ＝ｃに平行で、(ｘ0、ｙ0)を通るという事から計算すると、
その直線はａｘ＋ｂｙ＝ａｘ0＋ｂｙ0と表せる。
このことから、高さの差は｜ａｘ0＋ｂｙ0－ｃ｜となる。

2変数関数　ａｘ＋ｂｙの勾配ベクトルの大きさは、ａ^2＋b^2／√ａ^2＋b^2＝√ａ^2＋b^2となる。

分からないのがここからで、
この√ａ^2＋b^2が何を表しているのかがよく分かりません。
上の問題からすると(4)のことです。
√ａ^2＋b^2が何を表しているのかが分からないため、(5)・(6)も、どう求めていいのか分からなくなりました。

以上が私の答えです。
間違い指摘・補足、よろしくお願いします。