加法定理の導き方

質問

前々から疑問に思っていたのですが、見てみぬふりをしていました。高校で習った加法定理ってどうやって導くことができるのですか？加法定理から２倍角や３倍角、半角、積→和などの導く方法は分かるのですが。その基の加法定理はどっから導いてきているのですか？
　どこを探して良いのか全く分かりません。この本に載っているとかこのページに載っていると言う情報で結構なので教えて下さい。
　お願いします。

回答No.4

bob · ベストアンサー

数学の時間で習う行列というのはどうしても行列（演算）自体が
目的になってしまうので確かにイメージが湧きにくいですね。

実際には行列というのはあくまで手段であって、目的ではありません。
行列の表記法がシンプルで便利だから行列の表記法が生まれ、
それに合わせて便利なように行列の演算が定義されているという
だけのことなんです。

イメージとしては、行ベクトルの集合としても列ベクトルの集合としても
見ることができるということでしょうか。

どんなときに便利かというと、例えば巨大な連立方程式を解くとき、
いちいち変数名や演算子を書くと大変なので、計数だけを並べると
それは行列になります。さらに、その行列にワンパターンな操作を
繰り返すだけで連立方程式が解けてしまいます。

また、回転行列はベクトルの変換という視点で非常に分かりやすい例だと
思います。なんでもいいからベクトルvを右からかけると、出来上がった
ベクトルが回転しています。

具体的に例えばv={1, 0}、R(α=30°)でR・vを計算してみて下さい。
そして原点を始点にvとR・vをプロットすると、ベクトルが回転しているのが
分かるはずです。長さも１のままです。vやαをいろいろかえてみて下さい。
また、R(30°)・R(60°)・v = R(90°)・vも確かめられます。

なんでこうなるのかは分かっていればベストですが、回転行列などは
道具なので、別にただこうすればこうなるとだけ思っていればOKです。
例えばsin関数やlog関数なんかは具体的な値の求め方なんか気にしないですよね？
ただ便利だから使ってきれいな式にまとめて、必要なときに計算機でも使って
実数に戻せばいいのです。

一度回転行列を認めてしまえば
R(α)R(β)=R(β)R(α)=R(α+β)
はほとんど自明になります。

お礼

どうも、ありがとうございます。
そうですね。考え方ですよね。でも、なかなか認められないんですよね。
しかしながら、自分は普段の生活の中で使っている数学の系を認めているんですよね。１＋１が２になるとか・・・当たり前と思えればいいのですが。

回答No.3

bob

2x2の回転行列 R(α) =
cos(α) -sin(α)
sin(α) cos(α)
を覚えていれば

R(α)・R(β) = R(α +β)

なので（α回転させてからβ回転させても、α+β回転させても同じ）、
左辺を展開して両辺の行列成分を比較すると導くことができます。

補足

すいません遅くなりませた。
　僕はどうも行列で計算されたものは信用できません。僕が行列が苦手だからだと思いますが。行列ってどんなイメージができる？イメージが出来ない？例えば、３×３行列で使うサラスですが、あれでなんで計算できるの？行列を計算するって何？ってな具合に行列はどうもダメなんです。計算方法しか教えてもらってきてないので、どうも信用できません。
　信用できるように教えてもらえませんか？

回答No.2

red_snake

数学2の教科書に出ています。
使う物は三角比の公式sin(90－θ)＝cosθです。
図を書いて(円に内接する三角形を書き、三角形の内角で原点の角をα、ｘ軸と三角形の辺で出来る角をβとする。もちろんβは第一象限です)、あとは90度、α、βで当てはめるだけで出てきます。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
お礼が遅くなりました。
やはり、このような問題は図があった方が分かりやすいですね。

回答No.1

prome

Java Appletのサイトを見つけました。
楽しみながら理解できそうです。

参考URL：

http://www.ies.co.jp/LoveMath/2nd_grade/j-kahote/j-kahote.html