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物理におけるベクトル問題
大学1年(高校物理履修者)の力学の問題。 ベクトルA=2i+5jとベクトルB=5i-3jについて、A+B,A-B,A・B,A×Bを計算せよ。 今、前期期末テストの勉強中なのですが、過去問でこのような問題が出たそうです。 解答がないので、教えてほしいです。 この足し算、引き算は普通に数学の要領で、 A+B=7i+2j A-B=-3i+2j でいいのですか？物理なのに、こんな答え要求するんですかね？ あと、内積と掛け算の違いはなんですか？ A・B=10|i|^2+19i・j-15|j|^2 A×B=10|i|^2+19ij-15|j|^2 内積の点有り無しの違いですか？ それとも根本的に考え方が違う問題なのでしょうか？ こんな問題、授業中には全く扱っていないので、苦戦してます。
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> 下の２方は、友達の方に同意見のようですが・・・ > 結局どちらが正しいのでしょう？ あなたはどうお考えですか？ ベクトル積の定義を基に、先ずご自身で考え、正しいと思う方を採用してください。
- syowaman
- ベストアンサー率62% (5/8)
＃４の方と友人の言ってる方で正しいです。 Ａ・Ｂ＝－５ スカラー積 Ａ×Ｂ＝－３１ｋ ベクトル積 になります。 参考までに、式展開すると、 １０｜ｉ｜＾２ － ６ｉ・ｊ ＋ ２５ｊ・ｉ － １５｜ｊ｜＾２ （１） となります。 スカラー積の場合、ｉ・ｊ＝ｊ・ｋ＝ｋ・ｉ＝ｊ・ｉ＝ｋ・ｊ＝ｉ・ｋ＝０ ｉ・ｉ＝ｊ・ｊ＝ｋ・ｋ＝１ ベクトル積の場合は、ｉ×ｊ＝ｋ、ｊ×ｋ＝ｉ、ｋ×ｉ＝ｊ、ｊ×ｉ＝－ｋ、ｋ×ｊ＝－ｉ、ｉ×ｋ＝－ｊ ｉ×ｉ＝ｊ×ｊ＝ｋ×ｋ＝０ です。これらを（１）に入れれば、それぞれさきほど示した通りの値が出ます。 基本的には、スカラー積は量を示すので数字のみが、ベクトル積は方向も示すので、方向成分（ベクトル）が解につきます。
先ず、A-B が違います。 (2i+5j)-(5i-3j)=-3i+8j です。 次に、掛け算（外積）は、友達の言っているとおりです。 用心しなければならないのは、 i×j=k j×i=-k となることです。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
三たび登場。 ＞＞＞ 友達が、 A・B=(2i+5j)・(5i-3j)=10|i|^2+19i・j-15|j|^2=10-15=-5 A×B=(2i+5j)×(5i-3j)=10i×i-6i×j+25j×i-15j×j=-6-25=-31 だと言い張るのですが、どっちが正しいのでしょうか。 私が正しいです。 式の展開とは、別物です。 あくまでも、Ｘ成分、Ｙ成分、Ｚ成分で考えます。 ＞＞＞ その人によると、 何にも説明してないけど、i, j, k ってのはx, y, z 軸方向の単位ベクトルの事で、この場合だと長さは１。 その通りです。 ＞＞＞ なので、i・i = 1 i・j = 0 のように、同じなら１、違ったら0、 はい。それは合っています。 なぜならば、 ｉ・ｉ ＝ （１，０，０）・（１，０，０） ＝ １×１ ＋ ０×０ ＋ ０×０ ＝ １ ｊ・ｊ ＝ （０，１，０）・（０，１，０） ＝ ０×０ ＋ １×１ ＋ ０×０ ＝ １ ｋ・ｋ も同様です。 ｉ・ｋ ＝ （１，０，０）・（０，０，１） ＝ １×０ ＋ ０×０ ＋ ０×１ ＝ ０ 計算をせずとも、ｉ、ｊ、ｋはお互いに垂直なので、内積はゼロです。 ＞＞＞ なので、 A・B = -5 です。 違います。 Ａ・Ｂ ＝ ａx・ｂx ＋ ａy・ｂy ＝ ２×５ ＋ ５×３ ＞＞＞ A×B ってのはベクトルの外積（クロスプロダクト）。 結果もベクトルです。 三次元ならば三元ベクトル、 二次元（ｚ軸やｋは無し）ならばスカラーです。 ＞＞＞ i×j = j×k = k×i = 1 j×i = k×j = i× k= -1 i×i = j×j = k×k = 0 です。 そうです。 ＞＞＞ 定義（覚え方）は、並び順が x -> y y -> z z -> x のようなときに+1、逆のときに-1です。 そうです。 ＞＞＞ なので、 A×B = (2i+5j)×(5i-3j) = -6k -25k = -31k だというんですけど、どうなんでしょう。 違います。 前回回答の通りです。 以下は、ご参考。（同じ式が載っているサイトを探しました。） http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Poplar/2391/denjiki/gaiseki.htm http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/restudyVector2/ では、これにて退散・・・・・
補足
下の２方は、友達の方に同意見のようですが・・・ 結局どちらが正しいのでしょう？ 混乱してきました。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
＞＞＞だとすると、A・B=25,A×B=-19ということですか？ 人間電卓もやらないといけませんか？ 再掲 Ａ・Ｂ ＝ ａx・ｂx ＋ ａy・ｂy Ａ×Ｂ ＝ ａx・ｂy － ａyｂx となります。 あとは、ａx、ａy、ｂx、ｂyに、それぞれ２，５，５，３を代入して計算するのみです。 ------------------------------------- Ａ・Ｂ ＝ ２・５ ＋ ５・３ Ａ×Ｂ ＝ ２・３ － ５・５ 合いましたね。
補足
友達が、 A・B=(2i+5j)・(5i-3j)=10|i|^2+19i・j-15|j|^2=10-15=-5 A×B=(2i+5j)×(5i-3j)=10i×i-6i×j+25j×i-15j×j=-6-25=-31 だと言い張るのですが、どっちが正しいのでしょうか。 その人によると、 何にも説明してないけど、i, j, k ってのはx, y, z 軸方向の単位ベクトルの事で、この場合だと長さは１。 なので、 i・i = 1 i・j = 0 のように、同じなら１、違ったら0、 なので、 A・B = -5 です。 A×B ってのはベクトルの外積（クロスプロダクト）。 結果もベクトルです。 i×j = j×k = k×i = 1 j×i = k×j = i× k= -1 i×i = j×j = k×k = 0 です。 定義（覚え方）は、並び順が x -> y y -> z z -> x のようなときに+1、逆のときに-1です。 なので、 A×B = (2i+5j)×(5i-3j) = -6k -25k = -31k だというんですけど、どうなんでしょう。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんばんは。 高校のとき、ベクトルを成分で表すことを習ったかと思います。 ベクトルA=2i+5j は、（２，５）のことです。 ベクトルB=5i-3j は、（５，３）のことです。 ＞＞＞ この足し算、引き算は普通に数学の要領で、 A+B=7i+2j A-B=-3i+2j でいいのですか？ そのとおりです。 ＞＞＞ あと、内積と掛け算の違いはなんですか？ 内積の点有り無しの違いですか？ ありゃ。 「×」を小学校で習う掛け算の記号と同じだと誤解されていますね。 Ａ・Ｂ は内積です。（「スカラー積」とも呼ばれます。） Ａ×Ｂ は外積です。（「ベクトル積」とか「クロス積」とも呼ばれます。） ベクトル同士の掛け算で「×」と書いてあれば、それは外積のことです。 Ａの成分を（ａx，ａy，ａz）、Ｂの成分を（ｂx，ｂy，ｂz）と置くと、 Ａ・Ｂ ＝ ａx・ｂx ＋ ａy・ｂy ＋ ａy・ｂy という数（スカラー） Ａ×Ｂ ＝ （ａy・ｂz－ａz・ｂy，ａz・ｂx－ａx・ｂz，ａx・ｂy－ａyｂx） というベクトル です。 この問題の場合は、ｚ座標がないので、 Ａ・Ｂ ＝ ａx・ｂx ＋ ａy・ｂy Ａ×Ｂ ＝ ａx・ｂy － ａyｂx となります。 あとは、ａx、ａy、ｂx、ｂyに、それぞれ２，５，５，３を代入して計算するのみです。 （二次元の場合は、どうせ外積のＸ成分とＹ成分がゼロになるので、ベクトルにせず、Ｚ成分だけを外積とします。）
補足
掛け算ではなく、ベクトル積なんですね!! だとすると、A・B=25,A×B=-19ということですか？
補足
あ、引き算間違えました。 友達の方が正しいのですか？ ベクトル積の方は、－３１ｋの打ち間違いでした。