ベクトルの問題

質問

最近、ベクトルの勉強を始めたのですが、
ベクトルの問題で、
ｌａｌ＝３、ｌｂｌ＝４のとき、ａとａ＋ｂが垂直になるときの内積ａ・ｂを求めよ。
の解き方がいまいちわかりません。
ベクトル自体があまりわからないということもあるので、
わかりやすく教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.5

postro · ベストアンサー

＃３です。
そうなんですね、ｌｂｌ＝４　を使わなくてもできてしまった。
ここで考えてみてください。もしｌｂｌ＝２　だったらどうなるでしょう？
ａ・ｂ＝ｌａｌ・ｌｂｌｃｏｓθ＝6ｃｏｓθ＝-9　になってしまって、｜ｃｏｓθ｜≦１　だから
θをどうとってもこれは成り立ちませんね。
３＜ｌｂｌ　でないとうまくいかないのですね。
つまり、３＜ｌｂｌ　でないと　ａとａ＋ｂは垂直にはなれないんです。
ほんとうにそうなのか図を書いて考えてみてください。
なんだかちょっと興味深いと思いませんか？

お礼

postroさん、ありがとうございました。
ｌｂｌ＝４は、ちゃんとした解答を導くために必要なものだったのですね。
勉強になりました。
これと同じような問題がいくつかあるので、
それについても確認しながら取り組んでいきたいと思います。

回答No.10

akn1aj

＞…「零ベクトルは任意のベクトルに垂直である」として、ａとｂが垂直⇔ a・ｂ= 0；を言ってしまえば、煩雑さはなくなりますね。他の教科書のことも知りたいものです。

　まったくそうですね。今回、ひょんなことから、議論が少し深まり、mon-ichiさんも理解が深まったことと思います。ただ、私がこれまでに採点してきた問題で、具体的には忘れたが、ａとｂが垂直⇔ a・ｂ= 0 ；としてしまうと、a, b が零ベクトルの場合でもa・ｂ= 0 となり、条件を抜かしてしまう場合がありました。あくまでもその問題（特に入試）に対し、常に必要にして十分かチェックすればよいのです。

お礼

akn1ajさん、ありがとうございます。
ベクトル（特に零ベクトル）について、理解が深まってきました。
今回アドバイスいただいたことを頭に置いて、
勉強していきたいと思います。

回答No.9

postro

＞どの教科書でしょうか？かなりの高校の教科書でそう、扱っているのですか？

東京書籍「数学Ｂ」平成１５年２月１０日発行　１９ページ　には少なくともそう書いてあります。
他の教科書は知りませんが、こういう基本的な内容が教科書によって違うとは考えにくいと思います。
「零ベクトルは任意のベクトルに垂直である」として
ａとｂが垂直⇔ a・ｂ= 0
を言ってしまえば、煩雑さはなくなりますね。
他の教科書のことも知りたいものです。

回答No.8

akn1aj

補足します。わかっていることでしょうが、
a・b = |ａ| ・|ｂ| cos θ…(5)' です。これはすべてのa, b で成立します。a, bが直交する；とは 0°≦ θ ＜ 180°として、cos θ=0つまりθ= 90°…(7)のことです。(5)'より|ａ| ≠0, |ｂ| ≠0 …(8)をいわねば a・b = 0⇔ (7) となりません。論証としては（模範答案としては）確認していた方が、よいと思います。

回答No.7

akn1aj

ANo.#6に対して：
＞…高校の教科書では、「零ベクトルは任意のベクトルに垂直である」…
どの教科書でしょうか？かなりの高校の教科書でそう、扱っているのですか？ベクトルの先端の位置ベクトルでその座標を極座標で P(r, θ) つまり直交座標でOP(→)=(rcosθ, rsinθ) のとき、零ベクトルとはあくまでもr = 0です。θ は（Pは原点で）特に規定する必要はなく、強いていうなら任意です。長さがないとはいえ任意のベクトルに本来任意の角度で交差し、垂直である；と決め付けるのも無理があるように思われます。「模範答案でしたらこの記述は必要です。」と書きましたが、問題によってで、程度問題で今回なくともマア減点はないと思いますが、どちらかが零ベクトルならa・ｂ= 0としまうわけですから、直交するためにはどちらも零ベクトルでないことを確認したほうが、よいと思います。

＞…「ａ又はｂが零ベクトルのときは　a・ｂ= 0　と定める」
当然そうなるわけです。

回答No.6

postro

＃３、＃５です。　Akn1ajさんにも読んでいただきたいのですが。
Akn1ajさんすみません、横から失礼します。ちょっと気になったので書かせて下さい。
内積の垂直条件と零ベクトルについてです。
高校の教科書では、「零ベクトルは任意のベクトルに垂直である」として
ａとｂが垂直⇔ a・ｂ= 0
を言っています。
「ａもｂも零ベクトルではない」ことを条件にはしていません。
念のためお知らせしたくて。
なお、蛇足かもしれませんが、
「ａ又はｂが零ベクトルのときは　a・ｂ= 0　と定める」とされています。

回答No.4

akn1aj

＞自分でやってみて＜－９＞にはなったんですが、そうすると問題にあるベクトルｂの意味がないような気がしてしまうんです。akn1ajさんのように垂直であることを確認するためのものなのでしょうか？それが引っかかっての質問だったのですが・・・

私のAN0.#2で冒頭に｛ |ａ| = 3, |ｂ| = 4 よりa, a+ bは零ベクトルではないので、｝と書きましたね。模範答案でしたらこの記述は必要です。何故なら「ａとａ＋ｂが垂直になる」⇔ a・(a + b) = 0…(1) とは一概にはいえないからです。⇔であるためには、aないしａ＋ｂが零ベクトルでないことをいわねばなりません。 |ａ| = 3 ですから aは零ベクトルではありません。|ｂ| = 4 で|ｂ| ≠ |ａ| ですからａ＋ｂは零ベクトルではありません。｛aの矢印の先を中心に、この回りで半径4の円周上に ａ＋ｂの矢印の先はあるからです。｝このことをいって始めて(1)がいえます。ただこのためには、|ｂ| ≠ |ａ| であれば十分です。従って、実際に私が示したように、題意を満たすベクトルa, b が確かに存在することを確認するため；かもしれません。存在しなければ cos θ= - 3/4…(5) と求まりません。

回答No.3

postro

＞　ｌａｌ＝３、ｌｂｌ＝４のとき、ａとａ＋ｂが垂直になるときの内積ａ・ｂを求めよ。
今から書くａ，ｂ，はベクトルを表します。
内積の定義は大丈夫ですか。
ａ・ｂ＝ｌａｌ・ｌｂｌｃｏｓθ　（θはａ，ｂのなす角）
２つのベクトルが垂直のとき内積は０になりますね（これ重要）
よって
ａ・（ａ+ｂ）＝ａ・ａ＋ａ・ｂ＝ｌａｌ＾2 + ａ・ｂ =0
求めるのは　ａ・ｂ　だから
ａ・ｂ＝-ｌａｌ＾2 ＝－９

補足

自分でやってみて＜－９＞にはなったんですが、
そうすると問題にあるベクトルｂの意味がないような気がしてしまうんです。
気にしないほうが良いのでしょうか？
それが引っかかっての質問だったのですが・・・

回答No.2

akn1aj

｛ |ａ| = 3, |ｂ| = 4 よりa, a+ bは零ベクトルではないので、｝
「ａとａ＋ｂが垂直になる」⇔ a・(a + b) = 0…(1)です。これは内積での垂直条件で、わかりますよね。(1) ⇔ |ａ|^2 + a・b　=　0 …(1)'。 |ａ| = 3より |ａ|^2 = 9…(2)ですから、 a・b = - |ａ|^2 = - 9…(3)と求まります。なお、ベクトルaとベクトルbのなす角をθとすれば(3)より、 a・b = |ａ| ・|ｂ| cos θ= 12 cos θ = - 9…(4)で cos θ= - 3/4…(5)となります。つまりベクトルaとベクトルb は90°＜ θ ＜180 °…(6)で、「ａとａ＋ｂが垂直になる」ことを実現しているわけです。

補足

自分でやってみて＜－９＞にはなったんですが、
そうすると問題にあるベクトルｂの意味がないような気がしてしまうんです。
akn1ajさんのように垂直であることを確認するためのものなのでしょうか？
それが引っかかっての質問だったのですが・・・

回答No.1

wondercraw

「ａとａ＋ｂが垂直になるとき」
って　ありえるんですか？
問題あってますか？