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ベクトルの内積の求め方について
- ベクトルの内積の求め方について説明します。
- 内積の式を[ベクトルAの大きさ] * [ベクトルBの大きさ] * cosθで表します。
- 内積はベクトル同士の類似度や垂直度を計算するのに使われます。
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>ただtknakamuriさんは内積は各成分同士の積の和と書かれているのですが >それがよく分かりません。 [A]=(a, b, c), [B]=(d, e, f) なら [A]・[B] = ad + be + cf ということです。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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まだやってるようなので、とりあえず2次元の証明だけ残して起きます。 ベクトルの[A]の長さをra, 向きを θa ベクトルの[B]の長さをrb, 向きを θb とすると、成分表示では [A]=(ra・cosθa, ra・sinθa) [B]=(rb・cosθb, rb・sinθb) 内積は成分同士の積の総和なので [A]・[B]=ra・rb・cosθa・cosθb + ra・rb・sinθa・sinθb = ra・rb・cos(θb-θa) |A|=ra, |B|=rb, θb-θa = θ なので [A]・[B]＝|A||B|cosθ ちょっと骨が折れますが3次元でも同じ式が成り立ちます。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>内積は各成分同士の積の和なんですか？ >[A]・[B]=|[A]||[B]|cosθ（絶対値もベクトルなのに質問文では[]を付けていませんでした） >こうならったのですが、違うのでしょうか？ 復習しましょう。この二つが同等であることは内積の基本なので 教科書には必ず書いてあるはずですよ。 それから |A| はベクトルの大きさを表し、ピタゴラスの定理を使って ベクトルの大きさを計算しています。 なので、意味を知っていれば、平方根の中身がマイナスになるような答えは （答えが複素数になるような答えは）ありえないことがすぐにわかるはずです。
補足
日にちが空いてしまいすみません。 [A]・[B]=|[A]||[B]|cosθに関してですが ＞復習しましょう。この二つが同等であることは内積の基本なので 教科書には必ず書いてあるはずですよ。 これは分かります。教科書にも書いてあります（教科書は大学独自の先生が用意したプリントを使っています） ただtknakamuriさんは内積は各成分同士の積の和と書かれているのですが それがよく分かりません。 和という事は、上記の式の＝が＋になるという事ですよね（前後それぞれに（）がついて）？
- adachirusan
- ベストアンサー率45% (11/24)
ごめんなさい訂正箇所があります。 × ABベクトル = (2 . 3 . -1) + (1 . -3 . 2) = (-1 . -6 . 3) ○ ABベクトル = (1 . -3 . 2) - (2 . 3 . -1) = (-1 . -6 . 3)
- adachirusan
- ベストアンサー率45% (11/24)
まず、内積の求め方は二種類あります。 [A]・[B] = |A| |B| cosθ （Aの長さ × Bの長さ × なす角の余弦） また成分が分かっている場合には成分をそれぞれ (a1 . a2 . a3) 、(b1 . b2 . b3)として [A]・[B] = a1・b1 + a2・b2 + a3・b3 で求めることも可能です。 なのでこの問題も上の式で求めることが出来ます。 原点をOとした場合の、△OABのOA、OBの長さと∠AOBの余弦を求めてその3つを掛ければいいです。 OAの長さ（|A|）= √2^2 + 3^2 + (-1)^2 = √14 OBの長さ（|B|）=√1^2 + (-3)^2 + 2^2 = √14 cosθを図形的に求めるには、ABの長さ（ABベクトルの長さ）を求めて余弦定理を使えば求められます。 ABベクトル = (2 . 3 . -1) + (1 . -3 . 2) = (-1 . -6 . 3) ABベクトルの長さ = √(-1)^2 + 6^2 + 3^2 = √46 三角形の3辺の長さが分かれば、後は余弦定理の式に代入するだけでcosθが分かります。 (√46)^2 = (√14)^2 + (√14)^2 - 2 × √14 ×√14 cosθ - 2 × √14 ×√14 cosθ = 46 - 28 - 28 cosθ = 18 cosθ = - 9/14 よって、|A| |B| cosθ = √14 × √14 × - 9/14 = - 9 （同じ値になる） 図形的に求めるとこんな感じでしょうか。 まとめると、[A]・[B] = |A| |B| cosθ か、成分の積で求めるかは場合によるということです。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ それとNo.1さんは成分の積で内積を求めてから、 [A]・[B] = |A| |B| cosθ より、 cosθ = [A]・[B] /|A| |B| なので、cosθ = - 9/14 としてコサインを求めています。 つまり、内積が分かればコサインもすぐに分かるのでわざわざ三角を書いたりする必要はありません（爆） いかがでしょうか⁇
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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>[A]=2[i]+3[j]-[k] >[B]=[i]-3[j]+2[k]のとき >内積[A]・[B]を求めなさい。 [i], [j], [k] は デカルト座標の x, y z 軸方向の 単位ベクトルだと思いますが、そうすると成分表示では [A]=(2, 3, -1) [B]=(1, -3, 2) 内積は各成分同士の積の和なので 2 x 1 + 3 x (-3) + (-1) x 2 = -9 |A|=√(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = √(14) |B|=√(1^2 + (-3)^2 + 2^2) = √(14) |A|・|B|=14 なので cosθ=-9/14 → θ=130.005度
お礼
回答ありがとうございます。 ノートを見返したら、-1と-3にカッコが付いていないという初歩的なミスをしており結果が間違っておりました。 内積は各成分同士の積の和なんですか？ [A]・[B]=|[A]||[B]|cosθ（絶対値もベクトルなのに質問文では[]を付けていませんでした） こうならったのですが、違うのでしょうか？
お礼
何度も回答頂きありがとうございます。 そういう意味だったんですね。