ベクトルの問題です。教えて下さい。

質問

ベクトルaを'a'と表すことにします。
'a'の大きさは|'a'|となりますので宜しくお願いします。
平面ベクトル'a'、'b'について、
'a'、'b'が|3'a'-2'b'|＝2、|2'a'+'b'|＝1を満たしながら動くとき、内積'a'・'b'のとりうる値の範囲を求めよ。
という問題で、答えが3/49≦'a'・'b'≦5/49
となるのですが、どうしてそうなるか分かりません。
教えて下さいお願いします。

回答No.4

sakura_214 · ベストアンサー

3a↑-2b↑=A↑,2a↑+b↑=B↑
とおきかえると，
a↑=(1/7)A↑+(2/7)B↑
b↑=-(2/7)A↑+(3/7)B↑
となるので，
a↑・b↑=((1/7)A↑+(2/7)B↑)・(-(2/7)A↑+(3/7)B↑)
=-(2/49)|A↑|^2+(6/49)|B↑|^2-(1/49)A↑・B↑
=-(8/49)+(6/49)-(1/49)A↑・B↑　（∵|A↑|=2, |B↑|=1）
=-(1/49)(2+A↑・B↑)
となります．ここでa↑とb↑が題意の条件を満たしながら自由に動くということは，A↑とB↑が単純に|A↑|=2, |B↑|=1を満たしながら自由に動くことなので，
A↑・B↑=|A↑||B↑|cosθ=2cosθ
より（ただし，θはA↑とB↑のなす角），
-2≦A↑・B↑≦2
です．よって，
-4/49≦a↑・b↑≦0
となります．

＞答えが3/49≦'a'・'b'≦5/49

答えがNo.1のnablaさんと同じになりましたが，問題文等に写し間違いはないでしょうか？

お礼

本当でした！
|3'a'-2'b'|＝2ではなく、|3'a'-2'b'|＝1
でした。
それで教えて頂いた様に解いていくと
答えが出ました。
ありがとうございました！！！

回答No.3

noname#7175

ベクトルの加算は
|A+B|^2 = |A|^2+|B|^+2|A|B|cosθ
であるから右辺の|A|B|cosθが内積です
最初の|3a-2b|=4は
(3a)^2+(2b)^2+2内積 = 4^2
次の式も同じようにしてa^2とb^2の連立方程式で解く
そしてa^2≧0、b^2≧0から内積の存在範囲が。

回答No.2

noname#7175

-1/12 ≦ a・b ≦ 0　です

回答No.1

nabla

こっちのミスの可能性もありますが…

答えが-4/49～0になりました。

実際aの長さが０でbの長さが１のとき題意を満たしますし…