中国剰余定理 3数
余りが条件式を満たすがわからないので質問します。
p,q,rどの2つをとっても、互いに素な自然数とする。a,b,cを任意の整数とする。このとき、 x≡a mod(p),x≡b mod(q),x≡c mod(r) を満たす整数xが、0からpqr-1までの間に1つ存在する。この定理の証明は、
(qr)s≡1 mod(p),(rp)t≡1 mod(q),(pq)u≡1 mod(r),を満たすs,t,uを求めることから始まります。sであれば、(qr)s+py=1・・・(1)という1次不定方程式を解くことで、得られます。q,rがpと互いに素であるから、qr,pが互いに素なので(1)を満たすs,yは存在します。同様にt,uが得られます。x=a(qr)s+b(rp)t+c(pq)u・・・(2)とおけば、xは条件式を満たします。(2)をpで割った余りは、a*1+0+0=aとなります。qで割れば余りb,rで割れば余りc,となります。ここからがわからない箇所です。このxをpqrで割った余りも条件式をみたします。
まず、自分の計算では、x=a(qr)s+b(rp)t+c(pq)u=pqr{as(1/p)+bt(1/q)+cu(1/r)}となり余りが出ません。そして条件式x≡a mod(p),x≡b mod(q),x≡c mod(r) を満たしているとも思えません。どなたか自分の考えの間違いを教えてください。お願いします。