中国式剰余定理の教え方

質問

中国式剰余定理の証明で、ガウスの証明以外の証明がありますか？
中学３年生に説明しようとして、詰まってしまいました。
素因数分解、最大公約数、最大公倍数、剰余系ぐらいを知っている程度です。
　ずらずら書き出して、規則性を見つけさせて、一般的な求め方が分かるというようにしたいののですが、やっぱり無理ですかね、いきなりは？

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
x≡a3(mod m3)
（m1、m2、m3は互いに粗）
のような場合、
m2・m3・x1≡a1(mod m1)
m3・m1・x2≡a2(mod m2)
m1・m2・x3≡a3(mod m3)
を満たすx1、x2、x3を求めれば、
x=m2・m3・x1＋m3・m1・x2＋m1・m2・x3が解になる。
（mod m1・m2・m3で解はただ一つ）
（これをガウスの方法と言っているのでしょうか？）

結局、一次の合同式ax≡b(mod m)（mとaは互いの粗）の解を求めるこ
とに帰着する。すなわち、ax+my=bを満たすx,yを求める、もっと簡単に
ax+my=1を満たすx,yを求めてb倍して解を求める。
オイラーの定理を知っていればわけはないが、知らない場合はユークリッド
の互除法を利用して解くのか、それも知らなければ両辺を何倍かしていって
解を見つけることになるのか。
一次の合同式は解けるレベルなのでしょうか？そうであれば、ガウスの
方法もわかると思います。そうでなければ、数を書き出して、規則性を
見つけるしかないように思います。
最初は百五減算でクイズみたいにやって、その仕組みは・・・という風に
教えることになるんでしょうか？

お礼

zk43様
御回答を参考にして、思ったのですが、
x≡1(mod m1)
x≡0(mod m2)
x≡0(mod m3)
を出発点に一般化して行く
x≡2(mod m1)
x≡0(mod m2)
x≡0(mod m3)
と順次やっていく
最後に足しても、okなのを確かめる
地道に倍数と剰余の性質を使って積み上げる
結局、ガウスと同じですね。
ありがとうございました。
やってみます。

回答No.2

ojisan7

中国剰余定理を中学生に教えるのはどうかと思いますが、中学生に教えるとなれば、それ以前に、１次の合同式の解法は教えているということですね。中学生が、１次の合同式を理解しているのであれば、中国剰余定理（の解法）を教えることは容易です。解法はガウスの方法が理解しやすいのではないでしょうか。しかし、「ずらずら書き出して、規則性を見つけさせる」方法で、解法を発見させるのは、無理とまで言いませんが、中学生にとって負担が大きいでしょうね。

お礼

ojisan7様
ご忠告ありがとうございます。
中国剰余定理というのは、問題がとっつきやすいみたいで、パズル感覚で考えるようです。そこで、何とかできないかと思って質問をしました。確かに、あーそうかという感じには、なかなかなれないかもしれません。

回答No.1

kabaokaba

そもそも中学生に教える意味があるのか
疑問といえば疑問です．
今の中学のカリキュラムにはないですね
＃一部の私立では扱ってるかもしれませんが

剰余系を知ってるのであれば当然，
合同式も知ってるだろうから，
m,nが互いに素ならam+bn=1となる整数a,bが存在する
（ユークリッドの互除法ですね，
剰余系の言葉でいうなら剰余系での除法)
のも知ってますよね．
そうなら，「ガウスの証明」は難しくないですね

>規則性を見つけさせて、一般的な求め方が分かるというようにしたいののですが、

中国式剰余定理は，解の存在と一意性を述べるだけで
計算方法そのものは明示しないです．
計算方法がまさに「ガウスの証明」です．
＃結局ユークリッドの互助法に持っていくわけですが，
＃ガウスにしては地味な手法ですよね．

「中国式剰余定理」を説明するのか
「連立の合同方程式」の解き方を説明したいのか・・・

「連立の合同方程式」だったら
例えば
x≡2 (mod 3)・・(1)
x≡3 (mod 4)・・(2)
だとして
(1)は ・・・, -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,・・・
(2)は ・・・, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 24, 28,・・・
より，・・・,-1，11, 23, ・・・
で，x≡11 (mod 3・4)
なんてのは，複数のパターンをもっと長大な解の列に対して
処理すればわかると思います．
(1)と(2)の解の長大な列をパソコンに計算させて
（エクセルのような表計算ソフトで十分可能）
そういうのをたくさん用意してもできますね．

そのあと，予想した結果が「中国式剰余定理」であって
ガウスの証明，結局ユークリッドの互助法で証明できる，
という流れなのでしょうか？

お礼

kabaokaba様
御回答ありがとうございます。
やっぱり互除法なしでというのは、不可能ですよね。
御回答を参考に以下の方式でやってみようかなと今は考えています。
x≡1 (mod 3)・・(1)
x≡0 (mod 4)・・(2)
つまり4の倍数で3で割ると1余るものを求める　これはｘ＝４
こういう形で、互除法を導入して
x≡2(mod 3)・・(3)
x≡0 (mod 4)・・(4)
はｘ＝4＊2＝8でちょっと一般化の手掛かりを気付かせて

x≡1 (mod 4)・・(5)
x≡0 (mod 3)・・(6)
つまり3の倍数で、4で割ると１余るx＝3＊3=9
x≡3(mod 4)・・(7)
x≡0 (mod 3)・・(8)
x＝9*3=27
ここまでやって、さて本題で
x≡2 (mod 3)・・(9)
x≡3 (mod 4)・・(10)
これで、上記答えを単純に足してx＝27＋8＝35(mod12)≡11（mod12)も、剰余の性質は失われない事に気付かせてれば、中学生にも分かりやすい気がしました。
ふと中国式剰余定理の「問題」をいったら、「問題」がとっつきやすかったようで、喰い付いて来て「考える」というので、引っ込みがつかなくなりました。これで、やってみようかと思います。
無茶な注文にお付き合いいただきありがとうございました。