中国の剰余定理

質問

今、代数を勉強していますがわからないので教えて下さい。
「f:Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ
は同型写像であり、これを中国の剰余定理という。」
と書いてありそのあとに、
「mで割るとi余り、nで割るとj余るような整数kを求めるには、
cm+dn=1となる整数c,dを求めておいてk=cmj+dniとすればよい。」
とありますが、前半と後半の繋がりがよくわかりません。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

m,nが互いに素でないとだめなので
そう仮定しておきます

>mで割るとi余り、nで割るとj余るような整数kを求めるには、
>cm+dn=1となる整数c,dを求めておいてk=cmj+dniとすればよい。

これが中国式剰余定理の本質です．
話を簡単にするため
g: Z/mZ × Z/nZ → Z/mnZ
としますが
g([i],[j])=[cmj+dni]
と定めると，このgが同型であることが
引用部分によって証明できます．

この写像がwell-definedであることは簡単に示せます
全射であることが引用部分です
単射であることはmとnが互いに素であることから
簡単に示せます

上記の三段階の証明の手法は代数では頻繁に
使われるので，自分で証明を書き上げてみてください
＃整数だけじゃなくて，ある程度一般的な環や
＃二個だけじゃなくてもこの定理は成立しますが
＃証明はほぼ同様です

お礼

厳密に言えばこのようになるのですね。
わかりやすく、参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

後半の = は、すべて、≡(mod mn)ということでよいのでしょうか（ただし、mとnは互いに素）。

とりあえず、後半のようにしてkを決めると、
kが、mで割るとi余り、nで割るとj余る、こと（必要性）は明らかです。
で、問題は、kとしてこの形以外の解がないのか（十分性）てことですが、前半より、
「mで割るとi余り、nで割るとj余る数」をmnで割った余りは一意ということがわかっています。（同型写像なんで、１対１です）
したがって、十分性もいえます。

お礼

なるほど。
kがそうなるってことを許容してしまうと、必要十分であることが示せてしまいますね。
わかりやすかったです。
ありがとうございました。