∫[2、∞] dx/logx の発散・収束の判定

質問

∫[2～∞]のdx/logxの発散・収束はどのようにしてわかるのでしょうか？
その判断の仕方と、答えを教えて下さい。

回答No.2

proto · ベストアンサー

まず広義積分の基本を復習しましょう。
今回のような範囲での積分は本来は定義されないので、普通は
　　∫[2～∞]{1/log(x)}dx = lim[t→∞]{∫[2～t]{1/log(x)}dx}
と極限を用いて定義します。
定積分を計算した後、右辺の極限が存在すれば収束、存在しなければ発散です。

ですが今回、定積分の計算も簡単にはできないので、題意の積分を下から評価します。

x≧2において常に
　　0 < 1/(x*log(x)) < 1/log(x)
より
　　∫[2～∞]{1/(x*log(x))}dx < ∫[2～∞]{1/log(x)}dx

左辺の積分は
　　∫{1/(x*log(x))}dx = log(log(x)) +C

と実行できます。
左辺の定積分を計算してもらえばわかると思いますが、左辺は正の無限大に発散します。
よって題意の積分が下から評価できて発散することがわかったので、∫[2～∞]{1/log(x)}dxは∞に発散とわかります。

お礼

なるほど！
0 < 1/(x*log(x)) < 1/log(x)
と考えて積分をすればいいのですね！
参考になりました！

ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

定積分を計算すればわかりますが....

補足

定積分をといて、どのようになれば発散・収束なのでしょうか？
そこのところもお願いします…。