収束と発散の問題

質問

収束、発散というのは、一般的にどうやって見分けるものなのですか？
たとえば、

（n=0～∞ ）Σ{1/ (n(n+1)(n+2))^(1/3)}

（n=0～∞ ）Σ{(n+cosn) / (1 + n^3)}

など は、ただ単純に０から１，２，３、と数字をｎに
代入していって判断すればいいのですか？？？
ほかに効率的な方法があったら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

mmky · ベストアンサー

#1のsecret-gooさんのURLを参照して
<ダランベールの収束判定法>でやってみますかね。
「数列(1)があるとき，十分大きなnに対して，
u_n/u_{n-1} ≦ q < 1
を満たすならば，収束する．逆に，
u_n/u_{n-1} ≧ 1
を満たすならば，発散する．」
ですね。

（n=0～∞ ）Σ{1/ (n(n+1)(n+2))^(1/3)}
{1/ (n(n+1)(n+2))^(1/3)}
はｎを大きくすると緩やかに減少しますね。
でも、収束しますね。

ダランベールの方法を使ってみましょう。
An/An-1＝1/ (n(n+1)(n+2))^(1/3)}/1/ ((n-1)(n)(n+1))^(1/3)}
=((n-1)(n)(n+1))^(1/3)}/(n(n+1)(n+2))^(1/3)
={(n-1)/(n+2))}^(1/3)
ここで、明らかに　{(n-1)/(n+2))}＜1　,だから
={(n-1)/(n+2))}^(1/3)＜1
ということで、収束ですね。

（n=0～∞ ）Σ{(n+cosn) / (1 + n^3)}
｜cosn｜≦1　だから、この式{(n+cosn) / (1 + n^3)}
はｎに対して急速に減少しますね。
だから収束ですね。
判別手段を使うとむしろややこしいかも知れません。
必要におおじて判別手段を利用するのですね。
正確を帰すには、判別手段だけでなくエクセルなどで
ｎが大きい場合の計算をしたほうが良い場合もありますね。

参考になれば、

お礼

mmkyさん、いつもわかりやすい回答をありがとうございます！

回答No.2

mmky

アドバイスまで
＃１のsecret-gooさんの回答のURLを参照すると解わかりますが、
たくさんの判定方法がありますね。
その意味するとことは、以下のようですね。
「コーシーの収束判定法やダランベールの収束判定法が一般的ではある。
クンマーの判定法，ガウスの判定法，アーベルの判定法などさまざまなものがある．どれを使うかは，それぞれの無限級数の性質を考えて選択する。」
つまり、それぞれの無限級数の性質が解らないと判定手段が利用できないということかなと思います。
まずは、質問者のnahさん自身が無限級数の性質を理解することが必要かな
と思います。
そうすれば、「判定手段」も有効につかえるのではないかと思うのです。
ということで、まずは出来る方法でやってみられることをお勧めします。

アドバイス程度まで

回答No.1

secret-goo

コーシーの収束判定法やダランベールの収束判定法が一般的だと思うのですが

下記URLを参考にしてください。

参考URL：

http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/Lecture9.html