無限積分？の収束・発散

質問

∫ｓｉｎ(ｘ^ｐ)ｄｘ
(積分範囲は１→∞)の収束・発散を判定せよ(ｐは定数)、という問題があるのですが、判定法がわかりません。ヒントをください(>_<)

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

＞ヒントをください(>_<)

はい。

発散の証明には広義積分がコーシー列にならないことを、
収束の証明にはコーシー列になることを言います。

仮にpが実数だとすれば、
1<p
p=1
0<p<1
p=0
p<0
で場合分けするのがオーソドックスです。

P=0,1のときは明らか。

1<pのとき
十分大きなkについて積分区間を[(kπ)^(1/p),((k+1)π)^(1/p))
の和集合で分解したあと、x^p=ξとして
(2k+1/4)π≦ξ<(2k+3/4)πのとき
sinξ≧1/√2
であることを使います。

0<p<1のとき
十分大きなkと(2k+1/4)π≦ξ<(2k+3/4)πに対して
ξ^((1/p)-1)≧1
を使います。

p<0のとき
積分区間を上と同様に分解したあと、
|sinξ|≦1（∀ξ）を使います。

お礼

うーん…がんばります(>_<)