無限級数の収束、発散

質問

Σlogn/(n^2+2) (n=1→∞）
これが、収束するか発散するかを調べたいです。
答えには収束すると書いてありました。
文系で数学を始めたばかりなので分かりやすく教えてください。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考の考え方まで

Σlogn/(n^2+2) (n=1→∞）
ダランベールの判定法は使えませんね。
そこで、積分形式に変換して積分値が収束すれば級数は収束しますので積分値で判定しましょう。

lim∫[x=1→a]{logx/(x^2+2)}dx
a→∞
と置きます。このままの式では積分が面倒なので以下のように考えます。
(x^2+2)＞(x＾2) ですから、
lim∫[x=1→a]{logx/(x^2+2)}dx＜∫[x=1→a]{logx/(x^2)}dx
a→∞
∫[x=1→a]{logx/(x^2)}dx
部分積分法を使って、
=-logx/x + ∫{1/(x^2)}dx=[-logx/x - 1/x]x=1→a
=-loga/a - 1/a + log1　+1 =-loga/a - 1/a +1
a→∞
→1　に収束する。(a→∞ {loga/a}→0 ：aがより早く発散するから）
だから
∫[x=1→∞]{logx/(x^2+2)}dx＜1
なので級数は収束しますね。
面倒だけどこうゆうやり方ですかね。
参考程度に

お礼

よく分かりました。ありがとうございます。