広義積分の収束or発散の判定

質問

(1) ∫(0～1) (1-x^3) ^ -1/2 dx
(2) ∫(0～1) (1-x^4) ^ -1/2 dx
(3) ∫(0～π) (sinx+cosx) ^ -1 dx
これらの広義積分の収束or発散を調べたく、(1)(2)は収束し、(3)は発散するそうなのですが、解き方がいまいちわかりません。分かる方がいましたから、教えて頂けると助かります。

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

0≦x＜1で、(1－x^4)^(-1/2)≦(1－x^3)^(-1/2)≦(1－x^2)^(-1/2)なので、(1)，(2)は、

　　 ∫(0～1) (1-x^2) ^ -1/2 dx　　　(a)

の広義積分が求まれば、評価できます。(a)でx＝sinｔと置換すると、dx＝cosｔ・dｔなので、(1－x^2)^(-1/2)＝(1－(sinｔ)^2)^(-1/2)＝((cosｔ)^2)^(-1/2)＝cosｔより(a)は、

　　 ∫(0～π/2) dｔ＝[t](0～π/2)＝π/2　　　(b)

になります。従って、(1－x^4)^(-1/2)≦(1－x^3)^(-1/2)≦(1－x^2)^(-1/2)より、

　　∫(0～1) (1-x^4) ^ -1/2 dx
　≦∫(0～1) (1-x^3) ^ -1/2 dx
　≦∫(0～1) (1-x^2) ^ -1/2 dx＝π/2　　(c)

となり、(1)，(2)は上に有界。ここで{x[n]}を1に収束する単調増加列とすれば、m＞2に対して、0≦(1-x^m) ^ -1/2は明らかだから、

　　y[n]＝∫(0～x[n]) (1-x^m) ^ -1/2

で点列{y[n]}を定義すると、{y[n]}も明らかに単調増加列で(c)より上に有界。上に有界な単調増加列は収束するので、広義積分(1)，(2)は収束。

　(3)については三角関数の合成公式より、sinx+cosx＝(2)^(1/2)×sin(x＋π/4)。よって、

　　∫(0～π) 1/sin(x＋π/4) dx　　　(c)

の積分ができれば良い。(c)の分母の零点は、0≦x≦πの範囲でx＝3π/4のみ。従って積分区間を、[0，3π/4)と(3π/4，π]に分けて計算する必要がある。

　(c)のタイプの不定積分は、分子分母にsin(x＋π/4)をかけて、

　　∫ sin(x＋π/4)/(sin(x＋π/4))^2 dx＝∫ sin(x＋π/4)/(1－(cos(x＋π/4))^2) dx

と変形し、部分分数に分けて、

　　∫ sin(x＋π/4)/(1－(cos(x＋π/4))^2) dx
　＝∫ 1/2×sin(x＋π/4)×(1/(1－cos(x＋π/4))－1/(1＋cos(x＋π/4))) dx

とし、ｔ＝cos(x＋π/4)と置換積分すれば、dｔ＝－sin(x＋π/4)・dxだから、

　　∫ 1/sin(x＋π/4)＝－1/2×log((1－cos(x＋π/4))/(1＋cos(x＋π/4)))　　　(d)

と求まる。(d)の結果に、x＝3π/4を代入すると、

　　∫(0～π) (sinx+cosx) ^ -1 dx＝∞－∞

とわかり、発散。

　※（念のため）∞－∞は一般に計算不能で、0としてはいけません。

お礼

詳しく書いていただき、ありがとうございます！！非常に分かりやすいです…！大変助かりました。