収束、発散の判定法について

質問

微積分学の問題で、
「次の級数についてそれぞれ収束、発散を判定せよ。」
（1）
∞
Σ 　 √ｎ 　+1/ｎ（ｎ+1）
n=1

という問題がわからなかったので解答を見てみると、

「ｂn＝1/n^3/2　とおくと　√ｎ +1/n（ｎ+1）*1/ｂn →1　となり、Σ　ｂn < ∞ だから Σ√ｎ +1/ｎ（ｎ+1）＜∞」

というのですが、なぜｂn＝1/n^3/2　とおくのでしょうか？
1/n^3/2　というのがどこからでてきたのかわかりません。
宜しくお願いします。

回答No.1

aquarius_hiro

こんにちは。

（）の付き方がわかりづらいのでずか、文脈から
(√ｎ 　+1)/[ｎ(ｎ+1)] だと思いますので、
その前提でお答えします。

いま、発散するかどうかが心配で、とくに n が大きいときの和が発散の原因になりやすそうなわけなので、そのときの

(√ｎ+1)/[ｎ(ｎ+1)] の振舞いを考えます。

n が大きいときに、n + 1 の 1 や √n + 1 の 1 は n や √n に比べて無視できます。このことから、n が大きいときには、殆ど、

(√ｎ+1)/[ｎ(ｎ+1)] ≒ √n/n^2 = n^{-3/2}

なんではないかなと思うわけです。この最後の辺を bn とおいたわけです。

実際に、これが正しいかどうかは、その解答にあるように、

(√ｎ+1)/[n(n+1）]*1/ｂn →1　

の極限を確認すればわかります。極限で 1 になるので、

(√ｎ+1)/[ｎ(ｎ+1)] ≒ bn

の近似式の誤差は、n を大きくとりさえすれば好きなだけ小さくすることができます。

もともと n が大きいところの和が収束性に関して心配だったわけですから、この近似式を使ってしまってよいわけで、

Σ(√ｎ+1)/[ｎ(ｎ+1)]

を計算するかわりに、Σ bn を計算します。

それが収束するのですから、元の数列の和も収束することが言えたことになります。

n が小さい項も和に含まれるではないかと思われるかもしれませんが、その項はどうせ有限なので、収束性の議論には関係がありません。

もっと厳密な議論が好みの場合には、

(√ｎ+1)/[n(n+1)]*1/ｂn →1

より、任意の精度εを与えて、それに対して、うまい具合に N をとってやると、n > N となるすべての n に対して、

| (√ｎ+1)/[n(n+1)] - bn | < ε

が成立つようにできるということを使い・・・
と示しますが、以下ははしょりますね。

お礼

細かく説明してくださって有難うございます。
やっと理解することができました。

>（）の付き方がわかりづらいのでずか
わかりづらくしてしまい、申し訳ありませんでした。
以後気おつけます。